Yuchen You

5. 约旦标准型 约旦标准型 Jordan Normal Form 引入 对于任意一个 n×nn\times nn×n 的矩阵我们不一定能够拥有nnn 个特征向量，对于 几何重度小于代数重度的特征值 λi\lambda_iλi​ 我们可以构造 generalized eigenvector 满足 v⃗(2)∈ker⁡(A−λi1)2/ker⁡(A−λi1)\vec v^{(2)} \in \ker(A-\lambda_i \mathbb{1})^2 / \ker(A-\lambda_i\mathbb{1})v(2)∈ker(A−λi​1)2/ker(A−λi​1) 且这个满足了等式 Av⃗2=λv⃗2+v⃗1A\vec v_2 = \lambda \vec v_2 + \vec v_1Av2​=λv2​+v1​ 注意这里的 v⃗2\vec v_2v2​ 并不一定是任意 ker⁡(A−λi1)2\ker(A-\lambda_i 1)^2ker(A−λi​1)2, 应该和 v1v_1v1​ 保持联系 形式 diag(Jk(λi))⁡\operatorname{diag(J ...

1. 逆函数定理 压缩映射 contraction mapping: 定义： 在complete normed vector sub space MMM 中， 对于一个函数 f:M→Mf: M \to Mf:M→M且有数C<1C<1C<1 使得∣∣f(x)−f(y)∣∣≤C⋅∣∣x−y∣∣||f(x)-f(y)||\le C\cdot||x-y||∣∣f(x)−f(y)∣∣≤C⋅∣∣x−y∣∣对∀x,y,∈M\forall x,y, \in M∀x,y,∈M 则称这个映射为压缩映射 引理：压缩映射一定连续 注：压缩映射的映射目的地范围逐渐缩减，因此原空间一定存在更加疏松的结构来满足连续条件 压缩映射定理 contraction mapping principle： 在上述 MMM 中存在映射 f：M→Mf： M\to Mf：M→M 是一个压缩映射， 则存在唯一不动点 fixed point x0∈Mx_0 \in Mx0​∈M 即 f(x0)=x0f(x_0)=x_0f(x0​)=x0​. 对于序列 (an)(a_n)(an​) 满足 a ...

2. 隐函数定理 隐函数 implicit mapping 定义：对于一个含有 x,yx,yx,y 双变量的方程 (x∈D,y∈Ex\in D, y\in Ex∈D,y∈E) F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0 的函数关系为隐函数 注：不是每个隐函数都可以写作显函数形式， 首先双变量 x,yx,yx,y 不一定能分离，其次 对于确定的 xxx, 不一定只有唯一的 yyy 与之对应， 即不一定构成函数关系 注：隐函数阶段我们讨论 F(x,y)F(x,y)F(x,y) 就已经不是linear form 了，而是找 变量关于某一个轴的变化率 第一定理：在隐函数 F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0 中存在点 (x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​) 满足 ∂F∂y≠0\frac{\partial F}{\partial y} \not =0∂y∂F​​=0, 则在 (x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​) 周围的一个矩形范围内函数有解 隐函数求导：g′(x)=−∂xf(x,g(x))∂g(x)f(x,g(x))g&#x ...

4. 特征值与特征方程 特征值 eigenvalue 与特征向量 eigenvector Lv=λvLv = \lambda vLv=λv 本征空间: Vλ={v∈V:Lv=λv}V_\lambda =\{v\in V : Lv = \lambda v\}Vλ​={v∈V:Lv=λv} 几何重度 dim⁡Vλ\dim V_\lambdadimVλ​ 本征空间的另一种表述法 ker⁡(L−λ∘id⁡)\ker (L - \lambda \circ \operatorname{id})ker(L−λ∘id) 每个本征空间只对应一个 λ\lambdaλ 值 引理: 如果存在特征值集 $\lambda_1 \cdots \lambda_n \in \mathbb{F} $ 互不相等, 则 {v1,⋯ ,vn}\{v_1, \cdots, v_n\}{v1​,⋯,vn​} 是一组独立集合 人话：特征值不同 ⇒\Rightarrow⇒ 本征空间互相线性无关 推论： (iii) 一个 Fn→Fn\mathbb{F}^n\to \mathbb{F}^nFn→Fn 的 en ...

稳定性 研究方程 dydt=g(t,y),y∈Rn\frac{dy}{dt} = g(t,y), y\in \mathbb R^n dtdy​=g(t,y),y∈Rn 稳定和不稳定 我们把邻近的解均趋于之的特解称为稳定，反之称为不稳定 驻定和平衡解 对于等式右边 (不包含 dx/dt) 如果不含 自变量 t, 我们称之为 驻定微分方程，再将 微分项设为 0得到的常数解，称之为 平衡解或者驻定解 研究思路 既然我们要研究特解和标准解的差异，故定义差异函数 x=y−ϕ(t)x = y - \phi(t)x=y−ϕ(t), 其中 ϕ(t)\phi(t)ϕ(t) 表示特解, 稳定函数会有 x→0x\to 0x→0 ; 不稳定函数会有 x→∞x\to\inftyx→∞. 再定义函数 dxdt=f(t,x)\frac{dx}{dt} = f(t,x)dtdx​=f(t,x), 带回原方程得到 f(t,x)=g(t,y)−dϕ(t)dt=g(t,x+ϕ(t))−g(t,ϕ(t))f(t,x) = g(t,y) - \frac{d\phi(t)}{dt} =g(t,x+\phi(t))-g(t,\ph ...

形式 Ax¨(t)+Bx˙(t)+Cx(t)=D(t)A \ddot x(t) + B \dot x(t) + Cx(t) = D(t) Ax¨(t)+Bx˙(t)+Cx(t)=D(t) 特征根法 首先分为 齐次解 xhomx_{hom}xhom​ 和特解 xpartx_{part}xpart​, 对于齐次解，我们有: As2+Bs+C=0As^2 + Bs + C = 0As2+Bs+C=0 对于此二次方程我们有 判别式 Δ=B2−4AC\Delta = B^2 - 4ACΔ=B2−4AC Δ<0\Delta < 0Δ<0 方程有两个虚数根，我们通解的形式是 eμt(Acos⁡(λt)+Bsin⁡(λt))e^{\mu t}(A \cos(\lambda t) + B \sin (\lambda t))eμt(Acos(λt)+Bsin(λt)) 这里我们可以将特征方程的解变成配凑形式 (s−σ)2+ωd2=0(s - \sigma)^2 + \omega_d^2 = 0(s−σ)2+ωd2​=0 其中，ωd=λ=2πT,σ=μ=1τ\omega_d = \la ...

系统的分类 线性系统 linear system 非线性系统 线性时不变系统 是本节课默认的最常见的基础系统，线性表示符合线性叠加原理；时不变性表示系统输入信号延迟了时间 T 但是对于输出结果也只是延迟了时间 TTT，输出效果没有影响 公式表示 线性系统: g(au(t)+bv(t))=ag(u(t))+bg(v(t))g(au(t) + b v(t)) = ag(u(t)) + bg(v(t))g(au(t)+bv(t))=ag(u(t))+bg(v(t)) 时不变系统: g(u(t−ΔT))=x(t−ΔT)g(u(t - \Delta T)) = x(t - \Delta T)g(u(t−ΔT))=x(t−ΔT) 传递函数 卷积的定义及其使用 对于一个系统我们有输入量关于时间变化的函数 input function: u(t)u(t)u(t) 以及系统对应的输出量关于时间变化的函数 output function: h(t)h(t)h(t) 由于 input function 很多时候是一个任意变化的值，那么我们就需要借助微积分的思路来计算其作用效果: 微积分思想解决动态系统输入 ...

命题 proposition / statement 陈述语句，要么逻辑真要么逻辑假，具有明确的真假属性 x+1=2x + 1 = 2x+1=2 不是命题 布伦变量 Boolean variable 定义逻辑类集合为 B={⊤,⊥}\mathbb B = \{\top, \bot\}B={⊤,⊥} 二元衔接运算符 ¬\neg¬ 表示反逻辑 ∧\wedge∧ 表示 与 conjunction ∨\vee∨ 表示 或 disjunction →\to→ 表示蕴含 imply 注意这个不是推导关系, 更适合理解为受骗的情况，只有被骗是 0， 其他都没有被骗都可以是 1；表述为 p 仅当 q 逻辑, 通俗说法是 若 q 不为真则 p 也 不能为 真 ↔\leftrightarrow↔ 表示if and only if (实际上是同或，相同为 1，00 -> 1 是虚真) XOR (exclusive or) 异或，不同 为 1， 相同为 0 ![[source/_posts/wesley_knowledge_repo/math/discrete math/Pasted image ...

余子式 cofactor 划去 行列式 第 i 行与第 j 列的内容之后剩下部分的矩阵的行列式, 写作 MijM_{ij}Mij​. 代数余子式 adjunct 就是在余子式的基础上加上系数 (−1)i+jMij(-1)^{i + j} M_{ij}(−1)i+jMij​ 行列式展开 ∣A∣=a1rA1r+⋯+anrAnr|A| = a_{1r}A_{1r} + \cdots + a_{nr}A_{nr} ∣A∣=a1r​A1r​+⋯+anr​Anr​ 这个公式在处理不复杂的行列式递推公式的时候很好用 转置矩阵 det⁡A=det⁡(A−1)\det A = \det (A^{-1})detA=det(A−1) 常用性质 三角行列式: 行列式值等于对角线乘积 如果行列式某一行为 0, 则行列式的值为 0 用常数 ccc 乘以行列式的某列或者某行的每一各元素，那么行列式整体乘以 ccc. 行列式的两行或者两列对换位置，行列式的值变成相反数 如果行列式的行或者列之间线性不独立，那么行列式的值为 0 将行列式某一行(列)的值乘以 ccc 之后加到另一个 行(列)上面去，行列式的值不变 分 ...

语义等价、满足性和有效性 真值表一致并不能表明我们的逻辑语义就是等价的，比如我们有 蕴含关系， 这和 ¬p∨q\neg p \lor q¬p∨q 是不等价的 定义 对于命题逻辑公式 ϕ\phiϕ 和 ψ\psiψ, 我们称二者语义等价，当且仅当 ϕ⊨ψ∧ψ⊨ϕ\phi\models \psi \land \psi \models \phiϕ⊨ψ∧ψ⊨ϕ 成立，记为 ϕ≡ψ\phi \equiv \psiϕ≡ψ. 进一步, 如果 ⊨ϕ\models \phi⊨ϕ 成立，我们称 ϕ\phiϕ 是有效的 引理 命题逻辑公式 ϕ1⋯ϕn⊨ψ\phi_1\cdots\phi_n\models \psiϕ1​⋯ϕn​⊨ψ成立，当且仅当 ⊨ϕ1→(ϕ2⋯→(ϕn→ψ))\models\phi_1\to(\phi_2\cdots\to(\phi_n \to \psi))⊨ϕ1​→(ϕ2​⋯→(ϕn​→ψ)) 这个引理用于将命题变成完全不包含 →\to→ 的形式 （使用 ¬p∨q≡p→q\neg p\lor q\equiv p\to q¬p∨q≡p→q tautology) 通过将 →\to→ 变成一般 ...