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4. 拉普拉斯变换 Laplace Transform Heaviside 算符 假设我们存在一个求导算符 DDD 使得 f′=Dff' = Dff′=Df, 那么很多求导情况就可以通过这个 heaviside 算符做线性运算解决 但是我们首先得确定这个算符的可行性 由于是线性运算，我们可以定义矩阵和变基来将一个映射 fff 变为可以加 DDD 的情况 f→{f}f \to \{f\}f→{f} , D{f}={f′}D\{f\} = \{f'\}D{f}={f′} 要求{f}\{f\}{f} 是线性: ${\alpha f +\beta g}§ = \alpha {f}§ + \beta {f} § $ 对 ∀p\forall p∀p 成立 要求 D{f}(p)={f′}(p)+f(0)D\{f\}(p) = \{f'\}(p)+f(0)D{f}(p)={f′}(p)+f(0) 对 ∀p\forall p∀p 成立 代入 D{1}(p)={0}(p)+1=1D\{1\}(p) = \{0\}(p) + 1 = 1D{1}(p ...

2. 全纯函数的性质 properties of holomorphic functions 古尔萨定理 Goursat’s Theorem 对于开区间上全纯函数 fff 存在开区间内部的一个三角形 TTT 使得 ∮Tf(z)dz=0⁡\operatorname{\oint_T f(z)dz = 0}∮T​f(z)dz=0 注意我们朴素的理解全纯函数，就认为可导就好了 没理解！ 推论：矩形 RRR 积分为 0 圆盘积分定理 全纯函数在一个开圆盘中有原函数 柯西积分定理 Cauchy’s Theorem 函数 fff 是一个圆盘内的全纯函数，则有 ∮Cf(z)dz=0\oint_\mathcal{C} f(z)dz = 0∮C​f(z)dz=0 对任意圆盘内闭合曲线都成立 推论：对开集内包含的一个圆 CCC 且分析其内部，则有 ∮Cf(z)dz=0\oint_C f(z)dz = 0∮C​f(z)dz=0 这个区别在于我们要找到一个 closed 圆盘 被包含在中间，所以我们要用数学语言表述在一个开区间内部包含了一个closed圆 这一切的 ...

6. 傅里叶变换 Fourier Transform 傅里叶变换 Fourier Transform 公式： f^(ξ)=12π∫−∞∞f(x)e−iξxdx\hat f(\xi) = \frac 1 {\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\xi x}dxf^​(ξ)=2π​1​∫−∞∞​f(x)e−iξxdx 前提：∫−∞∞∣f(x)∣dx<∞\int_{-\infty}^{\infty}| f(x)|dx <\infty∫−∞∞​∣f(x)∣dx<∞ 和拉氏变换的区别： 是 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞) 的积分 e 的指数部分包含 i, 是复数的振动，而不是 decay 问题 求导 (f′)^(ξ)=12π∫−∞∞f′(x)e−iξxdx\hat{(f')}(\xi) = \frac 1 {\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f'(x) e^{-i\xi x}dx(f′)^​(ξ)=2π​1 ...

9. 傅里叶级数 Fourier Series 傅里叶基 Bf={12π,1πcos⁡(nx),1πsin⁡(nx)}n=1∞B_f = \{\frac 1 {\sqrt{2\pi}},\frac 1{\sqrt{\pi}}\cos(nx),\frac 1{\sqrt\pi}\sin(nx)\}_{n=1}^\inftyBf​={2π​1​,π​1​cos(nx),π​1​sin(nx)}n=1∞​ 是平方可积空间 L2([−π,π])L^2([-\pi,\pi])L2([−π,π]) 的一组函数的基，对于空间中的任意函数，我们都有 f=lim⁡SNf = \lim S_Nf=limSN​ 拟合公式 SN(x)=⟨f,1⟩2π+Σn=1N⟨cos⁡(nx),f⟩πcos⁡(nx)+Σn=1N⟨sin⁡(nx),f⟩πsin⁡(nx)S_N (x) = \frac{\langle f,1\rangle}{2\pi}+\Sigma_{n=1}^N \frac{\langle \cos(nx),f\rangle}{\pi}\cos(nx)+\Sigma_{n=1}^N\frac{ ...

场论入门 矢量场的积分 Vector Fields and Integrals 势能域 potential field 定义：在开集上的向量域映射F是一个同空间势能方程U的梯度， 即满足 F=∇UF = \nabla UF=∇U 等式关系的集合 引理: 在开集内的封闭曲线 C\mathcal{C}C 上使用环积分 ∮CFdlˉ=0\oint_\mathcal{C}F d\bar{l} = 0∮C​Fdlˉ=0 证明思路： 使用矢量域的线积分得到 δW=∫I(U∘γ)′(t)dt=U∣t1t2\delta W =\int_I (U\circ \gamma)'(t)dt = U|_{t_1}^{t_2}δW=∫I​(U∘γ)′(t)dt=U∣t1​t2​​ 可以理解为势能大小只和起点终点位置有关，和路径无关 证明是势能域：证明对于势能方程的梯度存在，即势能方程梯度存在，可以理解为证明多元函数可导证明（偏导连续有界） 保守性 conservative 对于所有沿着曲线路径 C∗\mathcal{C^*}C∗ 的曲线，如果对于矢量的线积分满足只和起点 ...

5. 卷积 Convolution Product 卷积 convolution product 定义算符 ∗*∗: L(f∗g)=(Lf)⋅(Lg)\mathcal L(f*g) = (\mathcal L f)\cdot (\mathcal L g)L(f∗g)=(Lf)⋅(Lg) 换言之我们有 f∗g=L−1((Lf)⋅(Lg))f*g = \mathcal L^{-1}((\mathcal L f)\cdot (\mathcal L g))f∗g=L−1((Lf)⋅(Lg)) 就是说我们要将一个拉普拉斯函数变成两个相乘的形式（因式分解），然后用卷积获得原来的结果 导出算式 (f∗g)(t):=∫0tf(t−s)g(s)ds(f*g)(t) := \int_0^t f(t-s)g(s)ds(f∗g)(t):=∫0t​f(t−s)g(s)ds 也就是说，通过上述的变换分别得到 f,gf,gf,g 这样我们就可以用积分得到最终的结果 f∗gf*gf∗g 性质： 结合律 (f∗g)∗h=f∗(g∗h)(f * g)*h = f*(g*h)(f∗g)∗h=f∗ ...

1. 复数求导性质 Complex Differentiability 复数可导性 holomorphic/ complex differentiable 全纯函数定义 f′(z):=lim⁡h→0,h∈Cf(z+h)−f(z)h{f'(z) : = }\lim_{h\to 0, h\in \mathbb{C}}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}f′(z):=limh→0,h∈C​hf(z+h)−f(z)​ 全纯函数 holomorphic 例子 lim⁡h→0z+h‾−zˉh=lim⁡h→0hˉh\lim_{h\to 0 } \frac{\overline{z+h}-\bar{z}}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\bar{h}}{h}limh→0​hz+h​−zˉ​=limh→0​hhˉ​ 不是 holomorphic，因为解不存在（小量相除） 可能存在实数和复数两个方向的解 柯西黎曼定理就是为了解决这个问题 holomorphic 的求导法则和实数函数求导法则完全相同 对比复数求导和向量求导 令函数 f(x+ ...

7. 线性微分方程组 微分方程解的唯一性 皮卡迭代 Picard Iteration x(k+1)=x0+∫t0tF(x(k)(s),s)dsx^{(k+1)} = x_0+\int _{t_0}^t F(x^{(k)}(s),s)dsx(k+1)=x0​+∫t0​t​F(x(k)(s),s)ds, x(0)(t)=x0x^{(0)}(t) = x_0x(0)(t)=x0​ 是一个常数 作用：通过皮卡迭代我们可以得到第 kkk 阶的微分方程拟合式，令k→∞k\to \inftyk→∞ 如果式子收敛则表明微分方程解具有唯一性 Picard-Lindelof定理 首先定义 Lipschitz estimate: 存在 L>0L > 0L>0 使得 任意连续映射 FFF: ∣∣F(x,t)−F(y,t)∣∣≤L∣∣x−y∣∣||F(x,t) - F(y,t)||\le L||x - y||∣∣F(x,t)−F(y,t)∣∣≤L∣∣x−y∣∣ 若满足上述等式则有 dxdt=F(x,t),x(t0)=x0\frac{dx}{dt} = F(x,t), x(t_ ...

6. 线性常微分方程 可分离方程 separable function 形式 y′=βy,y(0)=y0y' = \beta y, y(0) = y_0y′=βy,y(0)=y0​ 思路 将 y′y'y′ 看作是 dxdy\frac{dx}{dy}dydx​ 然后通过将微元部分放到正次数来，左右分别不定积分得到宏观表达式 微分方程解的存在性定理 对于 int point η\etaη, 满足 g(η)≠0g(\eta) \not = 0g(η)​=0, 则在 η\etaη 的一个相邻域中，对于 y′=f(x)g(y),y(ξ)=ηy' = f(x)g(y), y(\xi) = \etay′=f(x)g(y),y(ξ)=η, 有唯一解 y(x)y(x)y(x). 不唯一解的情况： 本质上得到的是一组平行曲线，因为没有一个经过点导致无法具体确定曲线的位置，一般我们用initial value去解决这个问题 齐次线性方程 homogeneous linear equation 一阶线性微分方程形式 : a1(x)y′+a0 ...

3. 拉格朗日乘子与约束方程 约束方程 constraint set： 形式就是一个隐函数，得到的也就应该是低维空间的一个曲线/面，令 F:Rn→RF : \R^n\to \RF:Rn→R 作用于 form 映射 fff 的约束方程：( f:Rn→Rf: \R^n\to \Rf:Rn→R ) 从康托面分析（俯视图），当约束方程的图形在 ξ\xiξ 处切线和 fff 康拓面在 ξ\xiξ 的切线重合则此处是 映射 fff 关于约束方程 FFF 的极值点 注：fff 被 FFF 约束时得到低维曲线 （fff 是 n+1n+1n+1 维度的空间， FFF 是 n−mn-mn−m 维度的曲面）曲线与 F(x)=0F(x)=0F(x)=0 空间维度一致 注：fff 作为一个 form 形式的映射，其求导得到的是方向导数， 即在康拓面内指向价值下降最快的地方，而不是在 n+1n+1n+1 维空间延梯度向下；而 Df∣ξDf|_\xiDf∣ξ​ 则表示一个梯度向量乘上另一个向量，结果是一个值, 即 R\RR， 在极值点处应为 0 C={x∈Rn:F(x)=0}\mathsc ...