Yuchen You

稳定性 研究方程 dydt=g(t,y),y∈Rn\frac{dy}{dt} = g(t,y), y\in \mathbb R^n dtdy​=g(t,y),y∈Rn 稳定和不稳定 我们把邻近的解均趋于之的特解称为稳定，反之称为不稳定 驻定和平衡解 对于等式右边 (不包含 dx/dt) 如果不含 自变量 t, 我们称之为 驻定微分方程，再将 微分项设为 0得到的常数解，称之为 平衡解或者驻定解 研究思路 既然我们要研究特解和标准解的差异，故定义差异函数 x=y−ϕ(t)x = y - \phi(t)x=y−ϕ(t), 其中 ϕ(t)\phi(t)ϕ(t) 表示特解, 稳定函数会有 x→0x\to 0x→0 ; 不稳定函数会有 x→∞x\to\inftyx→∞. 再定义函数 dxdt=f(t,x)\frac{dx}{dt} = f(t,x)dtdx​=f(t,x), 带回原方程得到 f(t,x)=g(t,y)−dϕ(t)dt=g(t,x+ϕ(t))−g(t,ϕ(t))f(t,x) = g(t,y) - \frac{d\phi(t)}{dt} =g(t,x+\phi(t))-g(t,\ph ...

形式 Ax¨(t)+Bx˙(t)+Cx(t)=D(t)A \ddot x(t) + B \dot x(t) + Cx(t) = D(t) Ax¨(t)+Bx˙(t)+Cx(t)=D(t) 特征根法 首先分为 齐次解 xhomx_{hom}xhom​ 和特解 xpartx_{part}xpart​, 对于齐次解，我们有: As2+Bs+C=0As^2 + Bs + C = 0As2+Bs+C=0 对于此二次方程我们有 判别式 Δ=B2−4AC\Delta = B^2 - 4ACΔ=B2−4AC Δ<0\Delta < 0Δ<0 方程有两个虚数根，我们通解的形式是 eμt(Acos⁡(λt)+Bsin⁡(λt))e^{\mu t}(A \cos(\lambda t) + B \sin (\lambda t))eμt(Acos(λt)+Bsin(λt)) 这里我们可以将特征方程的解变成配凑形式 (s−σ)2+ωd2=0(s - \sigma)^2 + \omega_d^2 = 0(s−σ)2+ωd2​=0 其中，ωd=λ=2πT,σ=μ=1τ\omega_d = \la ...

系统的分类 线性系统 linear system 非线性系统 线性时不变系统 是本节课默认的最常见的基础系统，线性表示符合线性叠加原理；时不变性表示系统输入信号延迟了时间 T 但是对于输出结果也只是延迟了时间 TTT，输出效果没有影响 公式表示 线性系统: g(au(t)+bv(t))=ag(u(t))+bg(v(t))g(au(t) + b v(t)) = ag(u(t)) + bg(v(t))g(au(t)+bv(t))=ag(u(t))+bg(v(t)) 时不变系统: g(u(t−ΔT))=x(t−ΔT)g(u(t - \Delta T)) = x(t - \Delta T)g(u(t−ΔT))=x(t−ΔT) 传递函数 卷积的定义及其使用 对于一个系统我们有输入量关于时间变化的函数 input function: u(t)u(t)u(t) 以及系统对应的输出量关于时间变化的函数 output function: h(t)h(t)h(t) 由于 input function 很多时候是一个任意变化的值，那么我们就需要借助微积分的思路来计算其作用效果: 微积分思想解决动态系统输入 ...

命题 proposition / statement 陈述语句，要么逻辑真要么逻辑假，具有明确的真假属性 x+1=2x + 1 = 2x+1=2 不是命题 布伦变量 Boolean variable 定义逻辑类集合为 B={⊤,⊥}\mathbb B = \{\top, \bot\}B={⊤,⊥} 二元衔接运算符 ¬\neg¬ 表示反逻辑 ∧\wedge∧ 表示 与 conjunction ∨\vee∨ 表示 或 disjunction →\to→ 表示蕴含 imply 注意这个不是推导关系, 更适合理解为受骗的情况，只有被骗是 0， 其他都没有被骗都可以是 1；表述为 p 仅当 q 逻辑, 通俗说法是 若 q 不为真则 p 也 不能为 真 ↔\leftrightarrow↔ 表示if and only if (实际上是同或，相同为 1，00 -> 1 是虚真) XOR (exclusive or) 异或，不同 为 1， 相同为 0 ![[source/_posts/wesley_knowledge_repo/math/discrete math/Pasted image ...

余子式 cofactor 划去 行列式 第 i 行与第 j 列的内容之后剩下部分的矩阵的行列式, 写作 MijM_{ij}Mij​. 代数余子式 adjunct 就是在余子式的基础上加上系数 (−1)i+jMij(-1)^{i + j} M_{ij}(−1)i+jMij​ 行列式展开 ∣A∣=a1rA1r+⋯+anrAnr|A| = a_{1r}A_{1r} + \cdots + a_{nr}A_{nr} ∣A∣=a1r​A1r​+⋯+anr​Anr​ 这个公式在处理不复杂的行列式递推公式的时候很好用 转置矩阵 det⁡A=det⁡(A−1)\det A = \det (A^{-1})detA=det(A−1) 常用性质 三角行列式: 行列式值等于对角线乘积 如果行列式某一行为 0, 则行列式的值为 0 用常数 ccc 乘以行列式的某列或者某行的每一各元素，那么行列式整体乘以 ccc. 行列式的两行或者两列对换位置，行列式的值变成相反数 如果行列式的行或者列之间线性不独立，那么行列式的值为 0 将行列式某一行(列)的值乘以 ccc 之后加到另一个 行(列)上面去，行列式的值不变 分 ...

语义等价、满足性和有效性 真值表一致并不能表明我们的逻辑语义就是等价的，比如我们有 蕴含关系， 这和 ¬p∨q\neg p \lor q¬p∨q 是不等价的 定义 对于命题逻辑公式 ϕ\phiϕ 和 ψ\psiψ, 我们称二者语义等价，当且仅当 ϕ⊨ψ∧ψ⊨ϕ\phi\models \psi \land \psi \models \phiϕ⊨ψ∧ψ⊨ϕ 成立，记为 ϕ≡ψ\phi \equiv \psiϕ≡ψ. 进一步, 如果 ⊨ϕ\models \phi⊨ϕ 成立，我们称 ϕ\phiϕ 是有效的 引理 命题逻辑公式 ϕ1⋯ϕn⊨ψ\phi_1\cdots\phi_n\models \psiϕ1​⋯ϕn​⊨ψ成立，当且仅当 ⊨ϕ1→(ϕ2⋯→(ϕn→ψ))\models\phi_1\to(\phi_2\cdots\to(\phi_n \to \psi))⊨ϕ1​→(ϕ2​⋯→(ϕn​→ψ)) 这个引理用于将命题变成完全不包含 →\to→ 的形式 （使用 ¬p∨q≡p→q\neg p\lor q\equiv p\to q¬p∨q≡p→q tautology) 通过将 →\to→ 变成一般 ...

基本概念 我们需要有一组规则，每一条都允许我们在特定的前提下得到下一个结论 推断 infer 前提 premise ϕ1,⋯ ,ϕn\phi_1 ,\cdots,\phi_nϕ1​,⋯,ϕn​ 结论 conclusion ψ\psiψ 矢列 sequent 文字 literal: 原子命题或其否定 子句 clause: CNF 的每一个析取向 自然演绎规则 合取引入规则 conjunctive introduction 在分别得到结论 ϕ\phiϕ 和结论 ψ\psiψ 的前提 下推导出结论 ϕ∧ψ\phi \land \psiϕ∧ψ. 这个规则写为 ∧e\wedge e∧e 前提是证明两个结论各自分别正确 合取消去规则 conjunctive elimination 在已知 ϕ∧ψ\phi \wedge \psiϕ∧ψ 的条件下有 ϕ\phiϕ 与 ψ\psiψ 各自成立，分别写作 ∧e1,∧e2\wedge e_1, \wedge e_2∧e1​,∧e2​ 双重否定规则 double negative rule 对于双重否定我们可以得到其本身 蕴含消去规则 modus ponens ...

从斐波那契说起 对于斐波那契公式，我们有 an+1=an+an−1a_{n+1} = a_n + a_{n -1}an+1​=an​+an−1​ 那么我们可以写成矩阵形式: [an+1an]=[1110][anan−1]\begin{bmatrix}a_{n+1}\\a_{n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 &1\\1& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_n\\a_{n -1}\end{bmatrix} [an+1​an​​]=[11​10​][an​an−1​​] 设 vn+1=[an+1an]v_{n+1} = \begin{bmatrix}a_{n+1}\\a_n\end{bmatrix}vn+1​=[an+1​an​​] 且我们有 A=[1110]A = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}A=[11​10​] 那么应用递推我们得到的是 vn+k=Akvnv_{n + k} = A^k v_nvn+k​=Akvn​ 我们自然而然就会想到 ...

集合 集合的特性 集合元素各不相同 distinct 对于多集合 multiset 是可以存在重复的集合内元素的 元素没有顺序区别 unordered 两种表示法可以相互转化 (枚举/描述) 基数 Cardinality 表示集合的尺寸，或者说集合内元素的数量 表示为 #A\#A#A 或者 ∣A∣|A|∣A∣ 或者 cardA\text{card}AcardA 集合之间的关系 包含(子集) Inclusion (subset) 符号: ⊆\subseteq⊆ 或者 ⊂\subset⊂ 定义: A⊂B⇔∀x∈A→x∈BA\subset B \Leftrightarrow \forall x \in A\to x\in BA⊂B⇔∀x∈A→x∈B 不包含: ⊄\not\subset​⊂ 或者 ⊈\not\subseteq​⊆, 定义 ∃x∈A,x∄B⇒A⊈B\exists x \in A, x\not\exists B \Rightarrow A\not\subseteq B∃x∈A,x​∃B⇒A​⊆B 性质 A⊆AA\subseteq AA⊆A 集合包含自身 ...

集合 集合的特性 集合元素各不相同 对于多集合 multiset 是可以存在重复的集合内元素的 元素没有顺序区别 两种表示法可以相互转化 (枚举/描述) 集合之间的关系 包含(子集) Inclusion (subset) 符号: ⊆\subseteq⊆ 或者 ⊂\subset⊂ 定义: A⊂B⇔∀x∈A→x∈BA\subset B \Leftrightarrow \forall x \in A\to x\in BA⊂B⇔∀x∈A→x∈B 不包含: ⊄\not\subset​⊂ 或者 ⊈\not\subseteq​⊆, 定义 ∃x∈A,x∄B⇒A⊈B\exists x \in A, x\not\exists B \Rightarrow A\not\subseteq B∃x∈A,x​∃B⇒A​⊆B 性质 A⊆AA\subseteq AA⊆A 集合包含自身 若 A⊆BA \subseteq BA⊆B 且 A≠BA\not= BA​=B 则 B⊈AB\not\subseteq AB​⊆A: 这里定义了集合的等号 A=B⇔A⊆B∧B⊆AA = B \Left ...