Yuchen You

6.2 应力和应变理思路 轴向应力应变 stress: σ=PA\sigma = \frac P Aσ=AP​ 单位: 压强 strain: ϵ=δL0\epsilon = \frac \delta {L_0}ϵ=L0​δ​ ϵ\epsilonϵ 表示的是相对变长量，没有单位，但是可以写作 (mm/mm)⁡\operatorname{(mm/mm)}(mm/mm) 绝对伸长量 elongation δ=ΔL=ϵL0\delta = \Delta L = \epsilon L_0δ=ΔL=ϵL0​ 经典 SS 图像 Stress - Strain Diagram 如下，从应变为 0 到分解依次为 弹性形变 elastic, 塑性形变 yielding, strain hardening, necking 上半段的折线表示的是真实 SS 图像，下半段包含阴影面积的是两端施加的应力 与零点斜率越大，stiffness 刚度 越大，越硬 延展性材料的 SS 图 Ductile Diagram 在解体之前能够承受很大的压强的物质是延展性材料 描 ...

10. 受剪切 shear 公式推导 首先我们考虑如下图所示的beam的受力 我们截取其中的一小段分析 从水平方向可以看出受力效果 截取上半部分阴影部分进行分析，我们会发现从平衡考虑，下切面存在切外力，构建水平方向受力平衡等式： ∫A′σ′dA′−∫A′σdA′−τ(tdx)=0\int_{A'}\sigma'dA' - \int_{A'}\sigma dA' - \tau(tdx) = 0∫A′​σ′dA′−∫A′​σdA′−τ(tdx)=0 用bending 进行改写得到等式 ∫A′(M+dMI)ydA′−∫A′(MI)ydA′−τ(tdx)=0\int_{A'}(\frac{M+dM}{I})ydA' - \int_{A'}(\frac{M}{I})ydA' - \tau(tdx) = 0∫A′​(IM+dM​)ydA′−∫A′​(IM​)ydA′−τ(tdx)=0 这里的 yyy 指的是离中性面的距离 (dMI)∫A′ydA′=τ(td ...

4. 质心和转动惯量 质心 centroid 对于均匀分布的物体，xˉ=∫x~dWW\bar{x} = \frac{\int \tilde{x}dW}{W}xˉ=W∫x~dW​ 即对位移乘以质量的积分比质量得到质心的坐标 考虑到质量均匀分布，即密度一致，我们可以化简到 xˉ=∫x~dVV\bar{x} = \frac{\int \tilde{x}dV}{V}xˉ=V∫x~dV​ 对于一个二维平面我们可以简化为面积的积分 一般会把 dVdVdV 变为 dx⋅dy⋅dzdx\cdot dy\cdot dzdx⋅dy⋅dz 三维，再将 dy⋅dzdy\cdot dzdy⋅dz 变为平面的积分得到平面关于某个轴进行积分 复合体的质心位置 将每个均匀规则物质求出其质心的位置，再通过质量进行加权平均得到整体的质心位置 力心：对于分布式力，我们可以求出力的等效作用位置 x=∫xdF(x)Fx = \frac{\int xdF(x)}{F}x=F∫xdF(x)​ 这里利用了力矩等效的知识 分布式力的示意图 在力的图中我们可以看到力线关于长度进行积分，也就是力的分 ...

5. 内力的计算方式 应力的分类 受压/受拉 tension/stress 受弯曲 bending 受扭转 torsional 受剪切 shear 应力的题目本质是分析应力杆上某一点（非端点）受力 虚拟转矩的方向：右手手枪手势，从食指到拇指 应用 对于一个受弯曲的梁 beam， 其中某点 AAA 可以将力分解为 剪切力 shear force VAV_AVA​ （切应力）和弯曲矩 bending moment MAM_AMA​ 以及沿着梁的方向的 应力 NAN_ANA​ 受弯 = 一面受拉 + 一面受压 在经过梁的质心的平行面长度不变 →\to→ 可以将其他面与这个面的受力进行比较得到受弯力矩大小 平行面之间会存在一个张力 平行面之间会存在一个张力 应力计算方式 通过过某点的平面切割开来，得到部分段，用平衡等式解决该点处的受力情况（3个unknown） 射线轴的受力序列分析 对于一个轴向某一个方向无限延申，上面受到多个力均垂直于轴的方向，则我们可以画出 受弯曲力矩 MMM 关于位移 xxx 的图像. 构造力偶来实现弯 ...

3. 摩擦力 Friction 分布式摩擦力 当我们推动一个三维箱子的时候，箱子底部受到的压力和摩擦力各个位置不同，形成的 为什么静摩擦因数大于动摩擦因数？ 静摩擦是分子的嵌入式的，之间的阻力会大于一般的滑动摩擦

1. 力学 力偶 force couple: 定义: 一对非共线的等大反向的力 作用：物体的转动都是由力偶导致的，通过寻找一对力偶的间距 ddd 和力的大小 FFF, 我们可以得到力矩 M=FdM=FdM=Fd 力偶的作用面： 一对力偶占据的平面 力偶的表示方式： a. 受力分析图 b. 带有箭头的弧线， 符号为 MMM 基本性质： a. 力偶在任意坐标轴上的投影为0 b. 力偶没有合力，力偶不能和力平衡，力偶只能和力偶平衡 含义：当物体平衡时，受到力偶为0，对于不受到外界力偶的杆受力延杆方向 c. 力偶对物体只产生转动效果，不产生平动效果 -> 只能原地转动 d. 力偶对作用面内任意一点均可以作为力偶矩的中心点，力偶矩不变 lemma： 力偶矩不变时，力偶可以在平面任意动（平/转）而不改变其对刚体的作用效果 lemma: 力偶矩不变，可以同时改变力偶的方向和大小而不改变作用效果 定轴转动： 模：Ma=uaˉ⋅(rˉ×Fˉ)M_a=\bar{u_a}\cdot(\bar{r}\times \bar{F})Ma ...

0. 工程学规范 转动方向正负性规定： 逆时针为正，顺时针为负 单位：有国际单位SI，也有英式单位 单位转换： lb： 英制磅，力的单位， 1lb⁡=11\operatorname{lb}= 11lb=1 力矩 torque/ 力矩量 moment/ resultant moment： 合力矩 torque 表示的是刚体受力的受扭转导致的扭矩 moment可以表示刚体受力的受弯曲导致的弯矩 坐标的表示方式 不要用 (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) 表示法 认准 uxi⃗+uyj⃗+uzk⃗u_x \vec{i} +u_y\vec{j}+u_z\vec{k}ux​i+uy​j​+uz​k

11. 复合受力 combined load 轴向力/侧向力的对比 对于圆柱状物体，侧向受力为 p(2r⋅dy)p(2r\cdot dy)p(2r⋅dy), 也就是看作一个平面的受力 想要约束侧向力，我们就要用侧向hoop σ1\sigma_1σ1​ 进行约束 得到侧向约束压强 σ1=prt\sigma_1 = \frac{pr}{t}σ1​=tpr​ 轴向力 longitudinal 为 p⋅πr2p\cdot \pi r^2p⋅πr2 约束力为 σ2⋅2πr⋅dt\sigma_2 \cdot 2\pi r \cdot dtσ2​⋅2πr⋅dt 得到轴向约束压强 σ2=Pr2t\sigma_2 = \frac{Pr}{2t}σ2​=2tPr​ 对比得知，轴向约束压强小于侧向约束压强 ，且这个和轴向面的弧度无关，只和轴向面投影面积有关 为了减小轴向面的问题，最好的防止裂开的设计就是做成球， 这样都是轴向力 枪的炸膛就是侧向爆炸为主

9. 弯曲 bending 受弯形变 中性面 centroid 不发生应变 一面受拉一面受压 本质上是axial load 的积分 我们有到中性面的距离是 yyy 的面 PQ 在外力作用下发生弯曲，曲率半径对应圆心角是 θ\thetaθ (如下图) 公理：在侧面不发生弯曲（即保持平面）的情况下，侧面距离 yyy 不发生变化 那么在一定角度下，我们可以计算 PQ 面的应变 ϵx=lim⁡P′Q′−PQPQ=−yρ(x)\epsilon_x = \lim\frac{P'Q' - PQ}{PQ} = \frac{-y}{\rho (x)}ϵx​=limPQP′Q′−PQ​=ρ(x)−y​ 对上述式子求应变得到 $\sigma_x = E\epsilon_x = \frac{-E(x)y}{\rho(x)} $ 则受力 F=∫σxdAF = \int \sigma_x dAF=∫σx​dA 则力矩 M=−∫yσxdAM = -\int y\sigma_xdAM=−∫yσx​dA 由于是力矩，必然满足比例关系，那么我们有等式 ...

7. 轴向受力 Saint-Venant’s Principle 轴向力的弹性形变 σ=P(x)A(x)=E(x)(dδdx)\sigma = \frac{P(x)}{A(x)} = E(x)(\frac{d\delta}{dx})σ=A(x)P(x)​=E(x)(dxdδ​) , ϵ=dδdx\epsilon = \frac{d\delta}{dx}ϵ=dxdδ​ $d\delta = \epsilon dx $ δ=∫0LP(x)dxA(x)E(x)\delta = \int_0^L \frac{P(x)dx}{A(x)E(x)}δ=∫0L​A(x)E(x)P(x)dx​ 对于恒定外力和横截面积的长度变化 δ=PLAE\delta = \frac{PL}{AE}δ=AEPL​ 对于函数式分布力（单位：N/m），我们其实首先要通过积分得到 P(x)P(x)P(x) 的表达式（单位：m），然后再用积分得到应变的表达式 最经典的模型就是重力，通过积分得到不同高度的总重力，然后通过积分得到各高度的应变 方向：规定 tension, elongatio ...