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稳态输出问题 Steady State Output 已知一个系统的传递函数 HHH 我们可以代入 jωj\omegajω 得到稳态的输出结果，我们将这个复数变成 M∠ϕM\angle\phiM∠ϕ 的形式表述。其中 MMM 为分子分母各自的模长比，ϕ\phiϕ 表示和输入信号的相位差。ϕ\phiϕ 的值为分子复数的 tan⁡−1\tan^{-1}tan−1 和 减去 分母复数的 tan⁡−1\tan^{-1}tan−1 的差值 注意稳态输出的模长应该还要乘以输入信号的振幅 但是问题是，如果传递函数是一个非常复杂的高次函数，怎么快速算出来传递函数的稳态输出呢（也就是说怎么快速解算出 稳态的振幅以及相位差呢） 定义 Bode图（Bode Plot）是频域分析中用于表示线性时不变系统（LTI系统）频率响应的图形工具。它由两个子图组成： 幅频特性图（Magnitude Plot）：表示系统增益与频率的关系，纵轴通常以对数刻度（dB）表示增益，横轴为对数刻度表示频率。 相频特性图（Phase Plot）：表示系统相位与频率的关系，纵轴为相位角（度或弧度），横轴同样为对数刻度表示频率 幅值纵 ...

概念 相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x)P(x)P(x) 和 Q(x)Q(x)Q(x)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异。 在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，Q用来表示模型所预测的分布，那么KL散度就可以计算两个分布的差异，也就是Loss损失值。 𝐷𝐾𝐿(𝑝∣∣𝑞)=∑𝑖=1𝑛𝑝(𝑥𝑖)𝑙𝑜𝑔(𝑝(𝑥𝑖)𝑞(𝑥𝑖))𝐷_{𝐾𝐿}(𝑝||𝑞)=\sum_{𝑖=1}^𝑛 𝑝(𝑥_𝑖)𝑙𝑜𝑔(\frac{𝑝(𝑥_𝑖)}{𝑞(𝑥_𝑖)}) DKL​(p∣∣q)=i=1∑n​p(xi​)log(q(xi​)p(xi​)​) 从KL散度公式中可以看到Q的分布越接近P（Q分布越拟合P），那么散度值越小，即损失值越小。 因为对数函数是凸函数，所以KL散度的值为非负数。 有时会将KL散度称为KL距离，但它并不满足距离的性质： KL散度不是对称的； KL散度不满足三角不等式。 计算 KL ...

协方差 Covariance 协方差是统计学中描述两个变量如何一起变化的指标。协方差是一个二元变量的统计量，用于衡量两个变量的总体误差。 公式 Cov(X,Y)=∑i=1n(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)nCov(X,Y) = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{n} Cov(X,Y)=n∑i=1n​(Xi​−Xˉ)(Yi​−Yˉ)​ 其中 X‾\overline{X}X 表示 XXX 的均值，Y‾\overline{Y}Y 表示 YYY 的均值，nnn 表示样本数量。 但是常见情况下会考虑期望而不是均值，所以我们可以将公式改写为： Cov(X,Y)=E[(X−μX)(Y−μY)]Cov(X,Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] Cov(X,Y)=E[(X−μX​)(Y−μY​)] 性质 协方差是对称的，即 Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(X,Y) = Cov(Y,X)Cov(X,Y)=Cov(Y,X) 协方差的绝对值越大，说明两个变量的相关性越强 协方差为正时，说明两个变量正相关；协方差为负时，说明两 ...

二元集合 ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B| ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣ 常用符号 AI:=⋂i∈IAi=⋂{Ai∣i∈I}A_I:=\bigcap_{i\in I} A_i = \bigcap\{A_i | i\in I\} AI​:=i∈I⋂​Ai​=⋂{Ai​∣i∈I} 例如，A1,2,4=A1∩A2∩A4A_{1,2,4} = A_1\cap A_2\cap A_4A1,2,4​=A1​∩A2​∩A4​, 但是更方便的写法是 A124A_{124}A124​ 空集表示 A∅=⋂X=XA_\varnothing = \bigcap{X} = XA∅​=⋂X=X 这个表示的是全集 容斥原理 对于 A1,⋯ ,AnA_1,\cdots ,A_nA1​,⋯,An​ 是集合 XXX 的子集 那么X 的元素中不在集合 A12⋯nA_{12\cdots n}A12⋯n​ 中的有 (Ac)[n]=∑I⊂[n](−1)∣I∣∣AI∣=∑r≥0(−1)r∑∣I∣=r∣AI∣(A^c)_{[n]} = \sum_{I\ ...

引理 令 A(x)A(x)A(x) 是一个形式幂级数，同时 A(0)=1A(0) = 1A(0)=1, d∈N\{0}d\in \mathbb N\backslash \{0\}d∈N\{0} 那么存在唯一的形式幂级数 B(x)B(x)B(x) 使得 B(0)=1B(0) = 1B(0)=1 且B(x)d=A(x)B(x)^d = A(x)B(x)d=A(x). 那么我们写作 B(x)=A(x)1/dB(x) = A(x)^{1/d}B(x)=A(x)1/d 注 由于对于给定的指数 ddd, 我们都有唯一的 d 次方根使得对 c∈Z\{0}，d∈N\{0}c\in \mathbb Z\backslash \{0\}，d\in \mathbb N\backslash\{0\}c∈Z\{0}，d∈N\{0} 有唯一 A(x)c/dA(x)^{c/d}A(x)c/d 定义 组合数 combinatories 令 m∈Qm\in \mathbb Qm∈Q, 定义 (m0):=1\begin{pmatrix}m \\ 0\end{pmatrix}:=1(m0​):=1 那么组合数公式: (m ...

ARP 攻击 也叫 arp 欺骗，由于 arp 地址解析协议是在子网或者说局域网下ip地址和mac地址连接的协议，思路上我们就是通过修改 二者的对应映射关系来达到污染或者欺骗的目的 在ARP回复时，发送请求包的主机A并不会验证ARP回复包的真实性，也就是不能判断回复主机A的是不是主机B。由此引出一个局域网攻击方式ARP欺骗。 举例 1.主机A要和主机C通信，主机A发出ARP包询问谁是192.168.1.3?请回复192.168.1.1。 2.这时主机B在疯狂的向主机A回复，我是192.168.1.3，我的地址是0A-11-22-33-44-02。 3.由于ARP协议不会验证回复者的身份，造成主机A错误的将192.168.1.3的MAC映射为0A-11-22-33-44-02。 ARP欺骗分类 1.主机欺骗：欺骗对象为主机。 2.网关欺骗：欺骗对象为网关，可以获得其他主机的进流量。 ARP 攻击的工具 arpspoof ettercap arpspoof 的使用 首先我们需要下载两个包 12yay -S dsniff # 用于查看代码yay -S fping # 用来查看 ...

定义 A(x)=∑n≥0anxnA(x) = \sum_{n \ge 0} a_n x^n A(x)=n≥0∑​an​xn 这是一个 generating function 生成函数 我们称 x 是变量 variable 或者 indeterminate 如果要获得 x 的值，我们需要用序列 an=(0,1,0,⋯ )a_n = ( 0, 1, 0,\cdots )an​=(0,1,0,⋯) 来进行获得 我们也可以写作 [xn]A(x)=an[x^n]A(x) = a_n[xn]A(x)=an​ 性质 对于形式幂级数 A(x)=∑n≥0anxnA(x) = \sum_{n\ge 0}a_n x^nA(x)=∑n≥0​an​xn, B(x)=∑n≥0bnxnB(x) = \sum_{n\ge 0}b_n x^nB(x)=∑n≥0​bn​xnm C(x)=∑n≥0cnxnC(x) = \sum_{n\ge 0}c_n x^nC(x)=∑n≥0​cn​xn 等价 equality: A(x)=B(x)⇔an=bnA(x) = B(x) \Leftrightarrow a_n = b_n ...

定义 对于序列 (an)=(a0,a1⋯ )(a_n) = (a_0, a_1\cdots)(an​)=(a0​,a1​⋯) 满足线性递归关系 an=c1an−1+c2+an−2+⋯+ckan−ka_n = c_1 a_{n-1} + c_2 + a_{n-2} + \cdots + c_k a_{n-k}an​=c1​an−1​+c2​+an−2​+⋯+ck​an−k​，其中 c1,c2,⋯ ,ckc_1, c_2, \cdots, c_kc1​,c2​,⋯,ck​ 是常数。 例如，我们常见的斐波那契数列 Fn=Fn−1+Fn−2F_n = F_{n-1} + F_{n-2}Fn​=Fn−1​+Fn−2​ 就是一个线性递归关系。 二阶线性递归关系 定义：an=c1an−1+c2an−2a_n = c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2}an​=c1​an−1​+c2​an−2​，其中 c1,c2c_1, c_2c1​,c2​ 是常数且 c2≠0c_2\not = 0c2​​=0。 特征多项式 characteristic polynomial X(t)=t2−c1t−c ...

概念 基本框架以及数据的处理流程： 以太网规定一组电信号就是一个数据包，一个数据包被称为一帧，制定这个规则的协议就是以太网协议。一个完整的以太网数据包如下图所示： 整个数据帧由首部、数据和尾部三部分组成，首部固定为14个字节，包含了目标MAC地址、源MAC地址和类型；数据最短为46个字节，最长为1500个字节，如果需要传输的数据很长，就必须分割成多个帧进行发送；尾部固定为4个字节，表示数据帧校验序列，用于确定数据包在传输过程中是否损坏。 接入网络的设备都必须安装网络适配器，即网卡， 数据包必须是从一块网卡传送到另一块网卡。而网卡地址就是数据包的发送地址和接收地址，也就是帧首部所包含的MAC地址，MAC地址是每块网卡的身份标识，就如同我们身份证上的身份证号码，具有全球唯一性。 IP 协议 通过前面的介绍我们知道，MAC地址只与厂商有关，与所处的网络无关，所以无法通过MAC地址来判断两台主机是否属于同一个子网。 网络层引入了IP协议，制定了一套新地址，使得我们能够区分两台主机是否同属一个网络，这套地址就是网络地址，也就是所谓的IP地址 IP地址目前有两个版本，分别是IPv4和IPv6，I ...

三次握手 Three-Way Handshake 建立TCP连接时所采用的一种过程，它确保客户端和服务器之间的通信通道是可靠的 目的 同步双方的序列号：确保双方都知道彼此的数据传输从哪里开始。 确认彼此的存在：确认对方能够接收到发送的信息，并准备好发送和接收数据。 初始化连接参数：设置通信的基本参数，如初始序列号和窗口大小。 第一次握手 SYN 客户端向服务器发送一个SYN（同步序列编号）包，包含一个初始序列号 Seq = X 第二次握手 SYN - ACK 服务器收到SYN包后，回复一个SYN-ACK（同步-确认）包。这个包包含服务器的初始序列号Seq = Y，并确认收到了客户端的序列号Ack = X + 1 第三次握手：ACK 客户端收到SYN-ACK包后，向服务器发送一个ACK（确认）包。这个包确认了服务器的序列号Ack = Y + 1，并使用自己的序列号Seq = X + 1 为什么需要三次握手 防止重复连接：三次握手确保了双方都知道彼此的存在，并且没有误解或重复的连接请求。 同步序列号：通过交换SYN和ACK包，双方能够同步初始序列号，从而正确地管理数据包的顺序。 测试 ...