Yuchen You

群的定义 group 是一个 pair, (G,⋅)(G,\cdot)(G,⋅) 其中 GGG 是一个 集合，且符号 ⋅\cdot⋅ 表示 G×G→GG \times G \to GG×G→G (g,h)→g⋅h=gh(g,h)\to g\cdot h = gh(g,h)→g⋅h=gh 是 composition 符号 群具有如下性质: 符号 ⋅\cdot⋅ 具有 结合律 (ab)c=a(bc)(ab)c = a(bc)(ab)c=a(bc) GGG 中包含了单位元素 1, 从而有 1a=a1=a1a = a1 = a1a=a1=a 对所有 a∈Ga\in Ga∈G 所有元素 a∈Ga\in Ga∈G可逆，即存在 一个元素 bbb 使得 ab=ba=1ab = ba = 1ab=ba=1 阿贝尔群 Abelian Group 是一个composition符号可以交换(commutative)的群，即 ab=baab = baab=ba 常用定理 对于一个群 GGG, a,b,c∈Ga,b,c\in Ga,b,c∈G, 那么： 存在唯一单位元 ba=ca⇒b=cba = ca \R ...

为什么我们要在学习群的时候突然探讨homomorphism？同态提供了两个群空间下相似的映射特性，那么如果我知道一个群的性质（循环？对称？）那么另一个就会具有相似的形式. 同样的，如果我们想知道子群和总群的关系，尤其是有限群的性质，我们可以联想到线性空间的研究方法: 利用线性无关的基将线性空间表述为集合基的线性组合。类似的，对于群的运算符，我们联想到使用循环群的思路，我们可以将一个总循环群变成几个循环群的并集(或者说 span?) 如果能做到这样，那么我们的空间就更容易理解。 当然，线性空间的问题是，其具有无限性，但是对于集合而言，我们更加应该看中其有限和无限的特殊性质，对于有限群，那么如果能分割称几个子群，那么其 order 的关系是什么？ 定义 对于群 G,G′G,G'G,G′ 我们有同态f使得 f(xy)=f(x)f(y)f(xy) = f(x)f(y) f(xy)=f(x)f(y) 注 简单同态 f:x→1G′f: x\to 1_{G'}f:x→1G′​ 包含映射 inclusion map: H→GH\to GH→G 且 x→xx\to xx→x 当 H ...

命题 proposition / statement 陈述语句，要么逻辑真要么逻辑假，具有明确的真假属性 x+1=2x + 1 = 2x+1=2 不是命题 布伦变量 Boolean variable 定义逻辑类集合为 B={⊤,⊥}\mathbb B = \{\top, \bot\}B={⊤,⊥} 二元衔接运算符 ¬\neg¬ 表示反逻辑 ∧\wedge∧ 表示 与 conjunction ∨\vee∨ 表示 或 disjunction →\to→ 表示蕴含 imply 注意这个不是推导关系, 更适合理解为受骗的情况，只有被骗是 0， 其他都没有被骗都可以是 1；表述为 p 仅当 q 逻辑, 通俗说法是 若 q 不为真则 p 也 不能为 真 ↔\leftrightarrow↔ 表示if and only if (实际上是同或，相同为 1，00 -> 1 是虚真) XOR (exclusive or) 异或，不同 为 1， 相同为 0 ![[source/_posts/wesley_knowledge_repo/math/discrete math/补充知识/Pasted i ...

定义 首先，让我们定义两个级数： ∑n=0∞an和∑n=0∞bn\sum_{n=0}^{\infty} a_n \quad \text{和} \quad \sum_{n=0}^{\infty} b_n n=0∑∞​an​和n=0∑∞​bn​ Cauchy乘积定义了这两个级数的乘积为一个新的级数： ∑n=0∞cn\sum_{n=0}^{\infty} c_n n=0∑∞​cn​ 其中，新级数的项 cnc_ncn​​ 是通过以下公式计算的： cn=∑k=0nakbn−kc_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k} cn​=k=0∑n​ak​bn−k​ 或者，我们可以写作 (∑j=0∞aj)(∑k=0∞bk)=∑n=0∞(∑j+k=najbk)(\sum_{j=0}^{\infty} a_j)(\sum_{k=0}^{\infty} b_k) = \sum_{n=0}^{\infty} (\sum_{j+k = n}a_jb_k) (j=0∑∞​aj​)(k=0∑∞​bk​)=n=0∑∞​(j+k=n∑​aj​bk​) 证明 展开两个级数的乘积 假设两个级数分别 ∑n ...

数学原理 整个diffusion model可以分为两部分，一个是前向扩散过程，另一个是逆扩散过程，通俗理解为：前向扩散过程不停的往图片上加服从高斯分布的噪声，加到使图片变得“面目全非” 在扩散过程中，每次往图片上加的噪声就是逆过程的标签 前向扩散过程 forward diffusion 大致的扩散模型如下 扩散过程简单来说就是不停的往图片里加噪声，把图片加的面目全非。那怎么加，加多少呢？ 假设原始数据为 x0x_0x0​，噪声为 zzz(在有些资料中写作 ϵt\epsilon_tϵt​) , 那么我们可以用下面的公式来表示扩散过程 xt=1−βtxt−1+βtztx_t = \sqrt{1-\beta_t}x_{t-1} + \beta_t z_t xt​=1−βt​​xt−1​+βt​zt​ 其中 zt∼N(0,I)z_t \sim \mathcal N(0, I)zt​∼N(0,I) 是一个纯01高斯分布的噪声 我们可以定义每一步的转移概率 q(xt∣xt−1)q(x_t | x_{t-1})q(xt​∣xt−1​) 为从上一时刻的数据点 xt−1x_{t-1}xt−1​ 生成 ...

简介 我们在计算算法的时间复杂度的时候，往往会发现递归算法的时间复杂度非常复杂，因此，我们对其进行数学建模，致力于从递归数学表达式快速推导出时间复杂度 本文将从线性递归关系和树形递归关系分类进行分析 同时，本文将使用到的数学理论包括: 线性递归关系, 形式幂级数 , 二项式定理, 渐进表示法 线性递归算法分析 对于线性递归的算法，我们最常见的就是斐波那契数列，对于此类函数，我们统一进行建模: an=αan−1+βan−2+f(n)a_n = \alpha a_{n-1} +\beta a_{n-2} + f(n) an​=αan−1​+βan−2​+f(n) 在高中的时候，或许我们会使用所谓“特征根法”对方程进行求解化简，但是作为大学生，我们应该要想到将 ana_nan​ 空间映射到别的空间中进行化简运算。这里形式幂级数给我们提供了很好的工具。我们可以将 ana_nan​ 映射到 A(x)A(x)A(x) 空间中，那么我们有 A(x)=αx(A(x)−a0)+βx2(A(x)−a0−a1x)+F(x)A(x) = \alpha x (A(x) - a_0) + \beta x^2 (A ...

定义 一个群是循环的如果可以由单个元素生成得到 例子 对于一个运算符是 ×\times× 的群，我们有 x∈Gx\in Gx∈G 的子群为 H:={⋯ ,x−3,x−2,x−1,1=x0,x,x2,x3}H:= \{\cdots,x^{-3},x^{-2},x^{-1},1=x^0,x,x^2,x^3\}H:={⋯,x−3,x−2,x−1,1=x0,x,x2,x3} 这个群就是包含 xxx 的最小子群，写作 ⟨x⟩\langle x\rangle⟨x⟩ 如果存在 m∈N−{0}m\in \mathbb N - \{0\}m∈N−{0} 使得 xm=1x^m = 1xm=1 我们称 mmm 是 order of x, 写作 m=∣x∣m = |x|m=∣x∣ 这个 m 将一个发散的群结构变成了循环的群结构，并且说明了群的尺寸 对于群 GGG 的 order，我们有 ∣G∣|G|∣G∣ 为其中元素的数量 注 这里的 xnx^nxn 可能表示不同的元素，或者相同，如 (−1)m(-1)^m(−1)m 定理 令 ⟨x⟩\langle x\rangle⟨x⟩ 是一个循环子群，元素由 xxx 生成 ...

大 O 符号 函数 g(n)g(n)g(n) 是函数 f(n)f(n)f(n) 的渐进上界 aymptotic upper bound 表述为 f(n)=O(g(n))f(n)= O(g(n)) f(n)=O(g(n)) 如果有 正常数 ccc 与 n0n_0n0​ 使得 0≤f(n)≤cg(n)0 \le f(n) \le cg(n)0≤f(n)≤cg(n) 对所有 n≥n0n \ge n_0n≥n0​ 即 lim⁡sup⁡n→∞f(n)g(n)<∞\lim\sup_{n\to \infty}\frac{f(n)}{g(n)} < \inftylimsupn→∞​g(n)f(n)​<∞ 集合表述法 O(g(n))O(g(n))O(g(n))表示函数集合 O(g(n))={f(n)∣∃ c,n0>0 s.t. 0≤f(n)≤cg(n) for n≥n0}O(g(n)) = \{f(n) |\exists\ c,n_0 > 0\ \text{s.t.}\ 0\le f(n) \le cg(n)\ \text{for}\ n\ge n_0\}O(g(n))= ...

可除性 Divisibility 定义 令 n,d∈Zn,d\in \mathbb Zn,d∈Z, 其中 d≠0d\not = 0d​=0 . 如果存在一个整数 qqq 使得 n=dqn = dqn=dq, 则 ddd 能整除 nnn . 我们记作 d∣nd|nd∣n . 如果 ddd 不能整除 nnn , 我们记作 d∤nd\nmid nd∤n . 即 d∣n⇔(∃q∈Z)(n=dq)d|n \Leftrightarrow (\exists q \in \mathbb Z)(n = dq) d∣n⇔(∃q∈Z)(n=dq) 特殊情况 对于 0∣n0|n0∣n, 当且仅当 n=0n = 0n=0 质数定义 一个自然数 p≥2p\ge 2p≥2 如果只能被 111 和 ppp 整除, 则称 ppp 是质数. 其他定义法 自然数 p∈Np\in \mathbb Np∈N 是质数当且仅当其有两个不同的因数（其实就是1和其本身），所有质数的集合是 N\mathbb NN 注 1 不是质数 Mersenne 质数 形式满足 2n−12^n - 12n−1 的质数形式 但是，不是所有的 ...

稳态输出问题 Steady State Output 已知一个系统的传递函数 HHH 我们可以代入 jωj\omegajω 得到稳态的输出结果，我们将这个复数变成 M∠ϕM\angle\phiM∠ϕ 的形式表述。其中 MMM 为分子分母各自的模长比，ϕ\phiϕ 表示和输入信号的相位差。ϕ\phiϕ 的值为分子复数的 tan⁡−1\tan^{-1}tan−1 和 减去 分母复数的 tan⁡−1\tan^{-1}tan−1 的差值 注意稳态输出的模长应该还要乘以输入信号的振幅 但是问题是，如果传递函数是一个非常复杂的高次函数，怎么快速算出来传递函数的稳态输出呢（也就是说怎么快速解算出 稳态的振幅以及相位差呢） 定义 Bode图（Bode Plot）是频域分析中用于表示线性时不变系统（LTI系统）频率响应的图形工具。它由两个子图组成： 幅频特性图（Magnitude Plot）：表示系统增益与频率的关系，纵轴通常以对数刻度（dB）表示增益，横轴为对数刻度表示频率。 相频特性图（Phase Plot）：表示系统相位与频率的关系，纵轴为相位角（度或弧度），横轴同样为对数刻度表示频率 幅值纵 ...