压强是什么

在流体力学里, "压强"既可以从力学定义理解, 也可以从应力张量分解理解;

  • 静止流体(无剪切应力): 压强等于任意方向切面上的法向应力(方向无关);
  • 一般流动(存在剪切应力): 同一点上不同方向的法向应力可能不同, 此时压强被定义为应力张量的各向同性(平均法向)部分;

压强的力学定义

在一点处取一个小平面(面积趋近于 0), 流体对该平面的作用力可以分解为法向与切向:

  • 法向力密度(法向应力):
    p≡lim⁡A→0FnAp \equiv \lim_{A\to 0}\frac{F_n}{A}

这里强调"法向", 因为压强是各向同性的法向作用强度(在静止/无黏等条件下成立);

为什么静止流体中压强与方向无关(Pascal 定律)

物理直觉

静止流体内部没有持续的剪切滑移: 如果同一点在不同方向切面上的法向应力不相等, 会导致微小流体体元产生净力矩或剪切趋势, 从而发生运动, 与"静止"矛盾;

更严格的表述(应力张量观点)

静止流体中剪切应力为 0, 因此应力张量只能是各向同性形式:

σ=−pI\boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf I

对任意法向 n\mathbf n 的切面, 牵引力(单位面积力)为:

t(n)=σn=−pn\mathbf t(\mathbf n)=\boldsymbol{\sigma}\mathbf n=-p\mathbf n

这说明牵引力总沿法向, 没有切向分量, 且大小 pp 与平面朝向无关;

一般流动中"压强"如何定义(平均法向应力)

在流动黏性流体中剪切应力可能非零, 导致同一点的法向应力在不同方向不一定相同;此时定义压强为三个互相垂直方向法向应力的平均(并取符号约定):

p=−13(σxx+σyy+σzz)p=-\frac13(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz})

其中 σxx,σyy,σzz\sigma_{xx},\sigma_{yy},\sigma_{zz} 是应力张量的对角项(分别是 x,y,zx,y,z 三个法向面的法向应力);

为什么这个定义与取向无关: trace 不变量

应力张量在坐标旋转(正交变换)下变换为:

σ′=QσQT\boldsymbol{\sigma}'=Q\boldsymbol{\sigma}Q^T

利用迹(trace)的相似不变性:

tr(QσQT)=tr(σ)\mathrm{tr}(Q\boldsymbol{\sigma}Q^T)=\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma})

因此:

σxx′+σyy′+σzz′=σxx+σyy+σzz\sigma'_{xx}+\sigma'_{yy}+\sigma'_{zz}=\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz}

这保证了用 tr(σ)\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma}) 定义的 pp 是真正的物理标量, 不依赖你选的坐标方向或三正交切面;

为什么"应力"要称为张量? 应力矩阵为什么对称?

为什么是张量(Cauchy 应力定理)

在一点处, 给定切面法向 n\mathbf n, 单位面积的作用力(牵引力向量)记为 t(n)\mathbf t(\mathbf n);连续介质理论给出:

t(n)=σn\mathbf t(\mathbf n)=\boldsymbol{\sigma}\mathbf n

也就是说牵引力是法向的线性映射;三维线性映射由 3×33\times 3 矩阵表示, 并且在换基下按张量规则变换, 因此称为二阶张量;

为什么对称(角动量守恒/力矩平衡)

在经典连续介质(不考虑体偶力, 微观自旋自由度)中, 对任意微小体元要求角动量守恒, 会推出:

σ=σT\boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{\sigma}^T

直觉上: 若 σxy≠σyx\sigma_{xy}\neq\sigma_{yx} 等非对称分量存在, 会对微元产生无法抵消的净力矩, 导致非物理的角加速度;

"对角项=压强/拉力, 非对角=剪切"是否总成立?

分量层面的分类(相对于选定坐标系)

  • 对角项 σxx,σyy,σzz\sigma_{xx},\sigma_{yy},\sigma_{zz}: 法向应力(可能是压缩或拉伸, 不一定等于 −p-p)
  • 非对角项 σxy,σxz,...\sigma_{xy},\sigma_{xz},...: 剪切应力

但剪切不是"本质消失", 它依赖切面

因为对称矩阵可正交对角化(谱定理), 总能找到主轴坐标系使:

σ=diag(σ1,σ2,σ3)\boldsymbol{\sigma}=\mathrm{diag}(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)

此时在主平面上剪切为零;但如果换到非主方向切面, 牵引力会分解出切向分量, 剪切又出现;剪切是"相对于切面"的概念, 不是"坐标一换就没有物理剪切";

压力梯度是什么(梯度在三维中的含义)

对标量场 p(x,y,z)p(x,y,z):

∇p=(∂p∂x,∂p∂y,∂p∂z)\nabla p=\left(\frac{\partial p}{\partial x},\frac{\partial p}{\partial y},\frac{\partial p}{\partial z}\right)

  • 方向: 指向 pp 增大最快的方向
  • 大小: 单位长度上的最大增长率(Pa/m)

方向导数关系:

dpds=∇p⋅s\frac{dp}{ds}=\nabla p\cdot\mathbf s

因此 −∇p-\nabla p 指向压强降低最快方向;

为什么压力梯度是"单位体积的力"

对微小体元, 压力作用在各个面上;若两侧压力不同, 会产生净压力力;对体积 dVdV 的微元, 有结论:

fp=−∇p\mathbf f_p=-\nabla p

其单位为 N/m3^3, 即"力密度";

从 ∑F=ma\sum \mathbf F = m\mathbf a 得到静水与无黏动量方程

对单位体积的力平衡:

−∇p+ρg=ρa-\nabla p+\rho\mathbf g=\rho\mathbf a

  • 静水(Hydrostatics): a=0\mathbf a=0
    −∇p+ρg=0-\nabla p+\rho\mathbf g=0
    若 zz 向上, 得 dpdz=−ρg\frac{dp}{dz}=-\rho g

  • 刚体加速(Rigid body motion): 假设流体整体像刚体运动
    −∇p+ρg=ρa-\nabla p+\rho\mathbf g=\rho\mathbf a

  • 无黏流(Inviscid flow): 忽略黏性剪切应力, 微团真实加速度为物质导数
    −∇p+ρg=ρDVDt-\nabla p+\rho\mathbf g=\rho\frac{D\mathbf V}{Dt}
    DVDt=∂V∂t+(V⋅∇)V\frac{D\mathbf V}{Dt}=\frac{\partial\mathbf V}{\partial t}+(\mathbf V\cdot\nabla)\mathbf V

Inviscid flow 是什么

无黏流指忽略黏性效应(剪切应力, 耗散), 仅保留压力和体力对动量的影响;典型适用条件:

Re=ρULμ≫1Re=\frac{\rho UL}{\mu}\gg 1

但靠近壁面仍需考虑边界层黏性;

为什么在流动中要用"速度梯度" ∇v\nabla\mathbf v?

区分两类梯度

  • f:Rn→Rf:\mathbb R^n\to\mathbb R:
    f(x+h)≈f(x)+∇f⋅hf(x+h)\approx f(x)+\nabla f\cdot h
    ∇f\nabla f 是向量(把位移 hh 映射成标量变化)

  • v:R3→R3\mathbf v:\mathbb R^3\to\mathbb R^3:
    v(x+h)≈v(x)+(∇v)h\mathbf v(x+h)\approx \mathbf v(x)+(\nabla\mathbf v)h
    ∇v\nabla\mathbf v 是 Jacobian 矩阵(把位移 hh 映射成速度变化向量)

因此 ∇v\nabla\mathbf v 描述邻域内"相邻质点速度差", 是黏性应力建模的核心输入;

S\mathbf S(应变率张量)是怎么来的? 怎么理解?

数学: 速度梯度分解为对称 + 反对称

令 L=∇v\mathbf L=\nabla\mathbf v, 恒等分解:

L=S+Ω\mathbf L=\mathbf S+\mathbf\Omega

S=12(L+LT)\mathbf S=\frac12(\mathbf L+\mathbf L^T)(对称)
Ω=12(L−LT)\mathbf\Omega=\frac12(\mathbf L-\mathbf L^T)(反对称)

物理: 为什么黏性只依赖 S\mathbf S

要求"纯刚体转动不应产生黏性应力/耗散";刚体转动的局部速度梯度为纯反对称(S=0\mathbf S=0), 因此黏性应力必须与 S\mathbf S 挂钩, 而不能与 Ω\mathbf\Omega 挂钩;

直观证明: S\mathbf S 决定长度变化, Ω\mathbf\Omega 只改变方向

两质点分离向量 r\mathbf r 满足:

r˙≈(∇v)r\dot{\mathbf r}\approx(\nabla\mathbf v)\mathbf r

长度平方变化率:

ddt∣r∣2=2r⋅Sr\frac{d}{dt}|\mathbf r|^2=2\mathbf r\cdot\mathbf S\mathbf r

因为 r⋅Ωr=0\mathbf r\cdot\mathbf\Omega\mathbf r=0;
故:

  • S\mathbf S 控制伸长/剪切形变
  • Ω\mathbf\Omega 对应局部旋转(与涡量相关)

为什么公式里有 2μ2\mu?

牛顿流体黏性偏应力:

τ=2μS\boldsymbol{\tau}=2\mu\mathbf S(不可压缩时)

对角项 Sxx=∂u/∂xS_{xx}=\partial u/\partial x, 因此:

τxx=2μ∂u∂x\tau_{xx}=2\mu\frac{\partial u}{\partial x}

所以总应力:

σxx=−p+τxx=−p+2μ∂u∂x\sigma_{xx}=-p+\tau_{xx}=-p+2\mu\frac{\partial u}{\partial x}

剪切分量里 Sxy=12(∂u/∂y+∂v/∂x)S_{xy}=\frac12(\partial u/\partial y+\partial v/\partial x), 乘上 2μ2\mu 后恰好抵消 12\frac12, 所以常见剪切应力公式没有显式的 2:

τxy=μ(∂u∂y+∂v∂x)\tau_{xy}=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)

为什么不可压缩时 ∇⋅v=0\nabla\cdot\mathbf v=0?

连续性方程(质量守恒):

∂ρ∂t+∇⋅(ρv)=0\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf v)=0

展开为:

DρDt+ρ(∇⋅v)=0\frac{D\rho}{Dt}+\rho(\nabla\cdot\mathbf v)=0

若不可压缩意味着质点密度不变 DρDt=0\frac{D\rho}{Dt}=0, 则:

∇⋅v=0\nabla\cdot\mathbf v=0

直观上:

∇⋅v=1VdVdt\nabla\cdot\mathbf v=\frac{1}{V}\frac{dV}{dt}

是"随体积元的体积膨胀率";不可压缩即 dV/dt=0dV/dt=0, 故散度为 0;

回到关键公式: 压强与法向应力的关系

对于黏性不可压缩牛顿流体:

σxx=−p+2μ∂u∂x,  σyy=−p+2μ∂v∂y,  σzz=−p+2μ∂w∂z\sigma_{xx}=-p+2\mu\frac{\partial u}{\partial x},\; \sigma_{yy}=-p+2\mu\frac{\partial v}{\partial y},\; \sigma_{zz}=-p+2\mu\frac{\partial w}{\partial z}

相加得:

σxx+σyy+σzz=−3p+2μ(∇⋅v)\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz}=-3p+2\mu(\nabla\cdot\mathbf v)

因此:

−p=13(σxx+σyy+σzz)−23μ(∇⋅v)-p=\frac13(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz})-\frac23\mu(\nabla\cdot\mathbf v)

若不可压缩 ∇⋅v=0\nabla\cdot\mathbf v=0:

p=−13(σxx+σyy+σzz)=−13tr(σ)p=-\frac13(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz}) =-\frac13\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma})

这给出"压强=平均法向应力(取负号)"的严格推导, 并解释了为什么要用 trace: 它是坐标不变量, 使压强成为客观标量;