0. Introduction to Fluid Dynamics

membrane 的含义

• 在流体/界面现象里常用 “membrane” 类比液面: 并非真的有固体膜, 而是说界面在力学上像"被拉紧的薄膜";
• 膜模型强调: 界面存在面内张力, 会倾向于缩小表面积;

表面张力 $\sigma$ 的本质

• 表面张力不是压强, 也不是黏性力;
• 物理量与单位
  • $\sigma$: N/m(等价于 J/m$^2$), 是"单位长度的拉力"或"单位面积的表面能";
  • 压强 $p$: Pa = N/m$^2$;
  • 力 $F$: N;
• 两个等价定义
  • 线力定义: $F=\sigma L$(界面上边界线长度为 $L$ 的"拉力");
  • 能量定义: $dE=\sigma\, dA$(增加界面面积需要做功);
• $\sigma$ 与什么有关
  • 强相关: 两相组合(液-气/液-液/液-固), 温度(通常升温 $\sigma$ 降), 表面活性剂/污染物, 溶质浓度, 界面吸附;
  • 与黏度 $\mu$ 没有直接换算关系; 但在动态毛细流里 $\sigma$ 作为驱动力, $\mu$ 作为阻力会同时出现(例如 Washburn 关系);

压力 vs 压强

• 压力(力): N;
• 压强(压力强度): Pa = N/m$^2$;
• 表面张力: N/m(线力/表面能密度);
• 做整体静力问题时, 最终要回到"力平衡"; 压强通过乘面积或积分转换为力;

拉普拉斯压强(curvature-induced pressure jump)

• 核心: 曲率导致界面两侧压强出现跳变

  $\Delta p = p_{\text{in}}-p_{\text{out}}=\sigma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)$

  (本笔记后续统一用 $...$ 表示公式, 见下面各条)
• $R_1, R_2$ 为主曲率半径(互相正交的两个方向);
• 曲率和从哪来(直观推导要点)
  • 表面张力是沿界面切向拉力;
  • 当界面弯曲时, 相对边上的张力方向略不相反, 产生净法向合力;
  • 两个主方向各贡献一项, 合起来得到 $(1/R_1+1/R_2)$;

常见几何特例

• 球形液滴(单界面)
  $R_1=R_2=r \Rightarrow \Delta p=2\sigma/r$
• 圆柱形界面(单界面)
  $R_1=r,\, R_2=\infty \Rightarrow \Delta p=\sigma/r$
• 肥皂泡(两层界面)
  两个界面各贡献一次 $\Rightarrow \Delta p=4\sigma/r$

"压强来自边界线张力吗? "的澄清

• 压强力是"面力": 作用在截面面积上($\Delta p\cdot A$);
• 表面张力是"线力": 作用在边界线($\sigma\cdot L$);
• 在静力平衡里, 二者可以等效互相平衡(例如切半球体推导中);
• 不是说压强"由边界线产生", 而是说: 界面张力的净效应在合力层面可写成边界线积分, 与压强差的面积力平衡;

气泡内部压强是否处处相同

• 理想静力/准静态, 小尺度: 气体密度低, 压强传播快, 内部压强可近似一致, 用一个 $p_i$ 表示;
• 大气泡/强加速度场/快速动态过程: 可能出现压强梯度或波动, 不再处处相同;
• 拉普拉斯公式比较的是"界面处两侧紧邻界面"的压强(局部边界条件);

Wetting, 接触角 $\theta$, Young 方程

• 接触角 $\theta$: 三相接触线处, 液-气界面切线与固体表面的夹角(通常从液体侧量);
• 润湿性判别
  • $\theta<90^\circ$: wetting(更铺展)
  • $\theta>90^\circ$: non-wetting(更成珠)
• Young 方程(接触线处界面张力平衡)
  $\gamma_{SV}=\gamma_{SL}+\gamma_{LV}\cos\theta$
  $\cos\theta=(\gamma_{SV}-\gamma_{SL})/\gamma_{LV}$

Capillary pressure(毛细压强)

• 定义: 界面曲率导致的两侧压强跳变(不同教材对正负号约定不同);
• 通用计算: Young–Laplace
  $\Delta p=\sigma(1/R_1+1/R_2)$
• 圆管内弯月面(常用结果)
  常写作 $p_g-p_l=2\sigma\cos\theta/R$
• 直观理解
  • 界面像橡皮膜: 越弯曲越"勒", 需要更大的压强差维持;
  • 平界面曲率为 $0$, 不需要压强跳变: $\Delta p=0$;

毛细上升/下降(capillary rise/depression)

• 力平衡推导(接触线张力的竖直分量平衡液柱重力)
  • 向上拉力: $F=2\pi R\,\sigma\cos\theta$
  • 重力: $W=\rho g(\pi R^2 h)$
  • 得到: $h=2\sigma\cos\theta/(\rho g R)$
• 结论
  • $\theta<90^\circ \Rightarrow \cos\theta>0 \Rightarrow$ 上升
  • $\theta>90^\circ \Rightarrow \cos\theta<0 \Rightarrow$ 下降

“弯月面是否等价液滴/气泡”

• 弯月面也满足 Young–Laplace; 若近似球帽, 则形式上与"单界面球面"的 $\Delta p=2\sigma/R_m$ 一致;
• 不等价于肥皂泡的 $4\sigma/r$(因为肥皂泡有两层界面);
• "哪边压强更高"由界面向哪一侧鼓出(曲率符号)决定: 凸面一侧需要更高压强去顶住表面张力收缩;

"有一处曲面, 其他平面处是否也有压强? "

• 液体内部处处都有绝对压强 $p(\mathbf{x})$(由外界压强基准 $+\,\rho g z$ 或流动决定);
• 表面张力导致的"额外压强跳变"只在曲率非零的界面处出现; 平界面处 Laplace 跳变为 $0$;
• 若同一连通静止液体在同一高度同时存在"要求 $\Delta p\neq 0$ 的曲面界面"和"要求 $\Delta p=0$ 的真正平界面", 会矛盾; 系统会通过形状调整/高度差/流动来达到自洽平衡;

薄液桥(两平行板间的毛细吸附)

• 场景: 两板间距 $H$ 很小, 液体润湿($\theta\approx 0$), 形成液桥与弯月面;
• 弯月面导致液体侧压强低于外界气体:
  常写 $p_g-p_l\approx 2\sigma/H$(当 $H\ll R$ 时主导项随 $1/H$)
• 板间吸力(净力)两部分
  • 压强差面积项: $F_p=(p_g-p_l)\,A\approx \Delta p\,\pi R^2$
  • 接触线张力项: $F_\sigma=2\pi R\,\sigma\cos\theta$
• 当 $H\ll R$ 时, $F_p\gg F_\sigma$, 常近似
  $F\approx \Delta p\,\pi R^2$
• “为什么上下板的压力要存在”
  • 这是力平衡: 液桥对板有吸力, 若板要保持静止/间距不变, 必须有外部约束提供等大反向力(板与外界/夹具/结构的支撑反力);
  • 局部上满足 Laplace(压强跳变), 整体上必须满足受力平衡(净力为 $0$);

"压强平衡还是压力(力)平衡? "

• 局部: 界面处必须满足压强跳变(Young–Laplace)——局部边界条件;
• 全局: 系统静止必须满足力平衡($\sum F=0$)——净吸力由压强差与表面张力分量积分得到;

specific gravity(比重)与 $g$ 的区别

• specific gravity (SG) $=\rho/\rho_{\text{ref}}$(无量纲), 通常 $\rho_{\text{ref}}$ 为水(约 $1000\,\text{kg/m}^3$);
• $g$ 是重力加速度(约 $9.81\,\text{m/s}^2$);
• 易混量: specific weight(重度/单位重)$\gamma=\rho g$(N/m$^3$);

viscosity: dynamic vs kinematic

• 动力黏度(dynamic/absolute viscosity)$\mu$: Pa$\cdot$s, 用于 $\tau=\mu(du/dy)$;
• 运动黏度(kinematic viscosity)$\nu$: m$^2$/s, 定义 $\nu=\mu/\rho$;
• 不是"动起来之后黏度变一种": 对牛顿流体, $\mu$ 与剪切率无关(主要随温度变化); 非牛顿流体才会随剪切率改变表观黏度;

两个薄油膜黏性剪切计算例题总结

例题 A: 圆柱轴在轴承油膜中平移, 求功率

• 已知: $D, h, L, U, \nu, \text{SG}$
• 步骤
  • $\rho=\text{SG}\cdot 1000$
  • $\mu=\rho\nu$
  • 剪切应力: $\tau=\mu(U/h)$
  • 受剪面积: $A=\pi D L$
  • 拉力: $F=\tau A$
  • 功率: $P=FU$
• 关键假设: 薄膜, 速度分布线性(Couette), 忽略端部效应/压力驱动流;

例题 B: 圆柱轴在油膜中旋转, 求扭矩

• 已知: $D\to r, h, L, \mu, \text{rev/s}$
• 步骤
  • $\omega=2\pi(\text{rev/s})$
  • 表面线速度: $u=\omega r$
  • 剪切应力: $\tau=\mu(u/h)$
  • 受剪面积: $A=2\pi r L$
  • 切向力: $F=\tau A$
  • 扭矩: $T=Fr$
• 合并公式(便于记忆)
  $T=(2\pi\mu\omega L r^3)/h$

常用直觉与记忆法

• “压强差来自曲率”: $\Delta p\propto \sigma(1/R_1+1/R_2)$;
• “小尺度更显著”: $\Delta p\sim \sigma/r$ 或 $\sigma/H$, $r$ 或 $H$ 越小效应越大;
• “线力 vs 面力”: $\sigma$ 作用在边界线(N/m), $p$ 作用在面积(N/m$^2$);
• “润湿决定方向”: $\cos\theta>0$ 上升, $\cos\theta<0$ 下降;