1. 概统定义

实验与样本

我们称呼一个过程，结果无法提前预测，为一个实验 experiment
我们称呼一个样本空间 sample space, 写作 $S$ 为一个实验的结果的集合

我们将一枚硬币投掷两次，正面朝上 Head 与背面朝上 Tail 的样本空间:

S = \{HH,HT,TH,TT\}

那么对于 head 数量的样本空间写作:

S= \{0,1,2\}

只发生一次的事情

发生多次的事件

发生次数为 0 的事件

写作 $A^c$ 表示的是总空间 $S$ 中不在 $A$ 内的部分

样本存在于 A 和 B 中

样本存在于 A 或者 B 中

(A\cap B)^c = A^c\cup B^c

(A\cup B)^c = A^c\cap B^c

表示两个样本集合的交集为空

A\cap B = \emptyset

一组互斥的空间取并集之后能等价于原空间，为一个样本空间的分割

取并集得到完整空间

A = B^c\land B = A^c

概率是将一个事件 event 映射到 $[0,1]$ 实数空间的一种映射

事件 A 的概率，写作 $P(A)$ 是在未来很长时间内事件 A 发生的时间的占比，且要求在未来的时间内实验条件不会发生变化

P(A) = \lim_{n\to\infty}\frac{n(A)}{n}

或者我们用重复多次 (sufficiently large) 试验后的发生次数来进行描述

假设样本空间为 S, 事件 $A_i$ , 那么定义事件的概率 $P(\ )$ 表示函数满足如下公理:

$P(S) = 1$
对于任意事件 A, $P(A)\ge 0$
如果 $A_1, A_2\cdots$ $A_{1}, A_{2} \dots$ 是mutually exclusive 事件，那么 $P(A_1\cup A_2\cup\cdots) = P(A_1)+ P(A_2)\cdots$ $P (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots) = P (A_{1}) + P (A_{2}) \dots$
1. 这里的定义是无限个事件 A_i, 这是公理，而有限个事件的并集公式是可以证明的

我们称一个发生概率相等的事件为等概率事件，而一般随机采样的结果都是等概率事件

P(A^c) = 1 - P(A)

P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)