9. 共振与滤波 Resonance and Response

什么是滤波器

对于传递函数 $H(s) = \frac{a}{s+a}$ 我们会发现，在频率较低的时候，$|H(s)|$ 的值接近于1且几乎不变，而在较大的 $\omega$ 下，我们有更低的 Gain
那么对于输入 $F(t)$ 内容，如果其频率小于 corner 那么其衰减率并不会受到很大的影响，而如果其频率大于 corner 那么就会受到较明显的衰减，我们称这个现象是 低通滤波器 Low pass filter
同理，我们通过对允许通过的频率的分类将滤波器分类为 低通滤波、高通滤波 (high-pass filter) 以及 带通滤波器 bandpass filter

截断频率 cut-off frequency

表示最高的通过至少一般能量的输入频率，在一般的振动中 $E\propto M^2$ 所以说我们一般考虑振幅的平方即是能量比值
例如对于 $H(s) = \frac{1}{s+1}$ 就是一个 一阶 低通滤波器，截断频率 1 rad/s
但是对于截断频率它还有一个更有名的称呼 : bandwidth 带宽

带宽 bandwidth

带宽描述的是复频域 (这里指在 s 域的纯 Im 轴) 传递函数 (带入 $s = j\omega$ ) 的峰值向下 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍处的频率值
我们在 bode 图中，就会看到实际值是 $- 3dB$ 的位置大概就是这个意思

一阶系统

对于一阶系统而言，传统公式就是 $\frac{K}{\tau s + 1}$ 这里的 $\tau$ 就是时间常数，是 $\sigma$ 的倒数
对于一阶系统而言并不存在 阻尼系数 $\zeta$
我们还有一个概念叫 corner frequency 角频率，在一阶系统中就是 $\frac{1}{\tau}$ , 也就是说，一阶系统的角频率等于带宽

二阶系统

二阶系统的带宽和corner frequency 以及阻尼系数都有关, 具体表示为 $Q = \frac{\omega_r}{\Delta \omega} = \frac{1}{2\zeta}$

共振体系

弹簧质子系统

对于常见的二阶响应 $M\ddot x + b\dot x + kx = F(t)$ 我们在较低的阻尼情况下有 $\zeta = \frac{b}{2\sqrt{Mk}}$ 以及自然频率 $\omega_n = \sqrt{\frac{k}{M}}$