定义

首先，让我们定义两个级数：

∑n=0∞an和∑n=0∞bn\sum_{n=0}^{\infty} a_n \quad \text{和} \quad \sum_{n=0}^{\infty} b_n

Cauchy乘积定义了这两个级数的乘积为一个新的级数：

∑n=0∞cn\sum_{n=0}^{\infty} c_n

其中，新级数的项 cnc_n​ 是通过以下公式计算的：

cn=∑k=0nakbn−kc_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}

或者，我们可以写作

(∑j=0∞aj)(∑k=0∞bk)=∑n=0∞(∑j+k=najbk)(\sum_{j=0}^{\infty} a_j)(\sum_{k=0}^{\infty} b_k) = \sum_{n=0}^{\infty} (\sum_{j+k = n}a_jb_k)

证明

  1. 展开两个级数的乘积
    假设两个级数分别 ∑n=0∞an\sum_{n=0}^{\infty} a_n 和 ∑n=0∞bn\sum_{n=0}^{\infty} b_n，它们的乘积为：$$(\sum_{n=0}^{\infty} a_n)(\sum_{n=0}^{\infty} b_n)$$
    将这两个级数展开，我们得到：

(a0​+a1​x+a2​x2+a3​x3+…)(b0​+b1​x+b2​x2+b3​x3+…)(a_0​+a_1​x+a_2​x^2+a_3​x^3+…)(b_0​+b1_​x+b_2​x^2+b_3​x^3+…)

  1. 使用分配律展开乘积
    应用分配律，我们将两个级数的乘积展开为各项的乘积和, 并且按照 x 的次数合并同类项:

a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+…\begin{aligned} & a_0b_0 + (a_0b_1 + a_1b_0)x + (a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0)x^2 + … \end{aligned}

  1. 化简写法
    考虑两个级数的乘积展开：

cn=∑k=0nakbn−kc_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}

所以我们可以看出，这正是我们需要证明的 Cauchy 乘积公式.