8. 波特图 Bode Diagram

稳态输出问题 Steady State Output

已知一个系统的传递函数 $H$ 我们可以代入 $j\omega$ 得到稳态的输出结果，我们将这个复数变成 $M\angle\phi$ 的形式表述。其中 $M$ 为分子分母各自的模长比，$\phi$ 表示和输入信号的相位差。$\phi$ 的值为分子复数的 $\tan^{-1}$ 和 减去 分母复数的 $\tan^{-1}$ 的差值
注意稳态输出的模长应该还要乘以输入信号的振幅
但是问题是，如果传递函数是一个非常复杂的高次函数，怎么快速算出来传递函数的稳态输出呢（也就是说怎么快速解算出 稳态的振幅以及相位差呢）

定义

Bode图（Bode Plot）是频域分析中用于表示线性时不变系统（LTI系统）频率响应的图形工具。它由两个子图组成：

1. 幅频特性图（Magnitude Plot）：表示系统增益与频率的关系，纵轴通常以对数刻度（dB）表示增益，横轴为对数刻度表示频率。
2. 相频特性图（Phase Plot）：表示系统相位与频率的关系，纵轴为相位角（度或弧度），横轴同样为对数刻度表示频率

幅值纵坐标

Bode图的幅值纵坐标表示系统的增益（Gain），通常以分贝（dB）为单位。分贝是一种对数单位，用于表示一个值相对于参考值的大小。

1. 将模 $|H(j\omega)|$ 转换为分贝（dB），计算公式为： $\text{Gain (dB)} = 20 \log_{10} |H(j\omega)|$
2. 分贝转换回模，计算公式为:
   $A = 10^{\frac{Gain}{20}}$

幅值 斜率

在幅值图中，由于纵坐标进行了log处理，我们处理次数函数的时候就能转换为线性图像，即绘制斜率图来进行拟合
那么我们需要知道原空间斜率和Bode空间的斜率的转换方式

$k_{ini} \sim 20 k_{dB}$

极点计算 Corner

我们在绘图的时候会遇到对极点的拟合和绘制，这个时候需要分类讨论

一阶响应

如果传递函数类似于 $H(s) = (\frac{a}{s+a})^{\pm 1}$ 那么我们的 corner 就是 $a$ 点，这个在这个节点后面的斜率是 $\pm 1 * 20$

二阶响应

如果传递函数类似 $H(s) = (\frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2})^{\pm1}$ 那么我们会在 $\omega_n$ 处找到零点，这个前后的斜率是 $\pm 2\times 20$

corner 点的峰值处理

一阶响应

一般而言在 corner 点附近我们的频率会出现降低 3dB 的现象，也就是说会有 $0.707 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍的衰减

二阶响应

在 corner 点处会有 上扬或者下扬，和稳定值比较差异是 原空间的 $2\zeta$ 倍