自然数的定义

  1. 大于：如果存在 k∈Nk\in \mathbb N 使得 m+k=nm + k = n 则有 n≥mn \ge m
  2. 整除：如果存在 k∈Nk\in \mathbb N 使得 n=m⋅kn = m \cdot k 则有 m∣nm | n 我们称为 m divides n
  3. 偶数：如果 2∣n2 | n 则 nn 为偶数
  4. 奇数： ∃k∈N\exists k \in \mathbb N s.t. n=2k+1n = 2k + 1
  5. 质数 (prime): 不存在 k∈Nk\in \mathbb N，1<k<n1 < k < n 使得 k∣nk | n 那么我们称 n 是 prime

质数有无数个

两类证明方法：

  1. 我们假设质数是有限个，那么我们有有限集 P={p1⋯ ,pn}\mathbb P = \{p_1 \cdots ,p_n\} 那么我们找到自然数 N=p1⋅p2⋯pn+1N = p_1 \cdot p_2 \cdots p_n + 1 就是一个质数
  2. 同样的假设，但是对于有限的质数集合 {p1⋯pk}\{p_1\cdots p_k\}, NN 如果是质数，那么 NN 一定有一个因数不在 {⋯ }\{\cdots\} 里面，因此引入了一个新的质数元素 （这里并没有用到反正归谬）

利用自然数定义整数tuple加法

自然数减法的定义

对于定义在 N2\mathbb{N}^2等价关系  ~, 我们有(a,b)∼(c,d)⇔a+Nd=b+Nc(a,b)\sim(c,d)\Leftrightarrow a +_{\mathbb{N}} d = b +_{\mathbb{N}} c
注意 我们这里首先要验证 ∼\sim 的等价性质
这下我们就可以导出自然数的减法公式 a−b=c−da - b = c - d
那么我们可以就此定义整数集合（也就是比自然数集合多了一个负数部分）

Z=N×N/∼\mathbb {Z} = \mathbb {N}\times \mathbb{N} / \sim

比如，我们有 −3Z={(0N,3N),(1N,4N),⋯ }=[(0N,3N)]-3_{\mathbb{Z}} = \{(0_{\mathbb{N}},3_{\mathbb{N}}),(1_{\mathbb{N}},4_{\mathbb{N}}), \cdots\} = [(0_{\mathbb{N}},3_{\mathbb{N}})]
对于自然数 a,b,c,da,b,c,d， 我们定义 [(a,b)+Z(c,d)]:=[(a+Nc,b+Nd)][(a,b)+_{\mathbb{Z}}(c,d)] := [(a +_{\mathbb{N}} c,b +_{\mathbb{N}} d)]

正整数定义除法得到有理数

我们定义整数乘法：对于 Z×Z+\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^+ 我们定义 (a,b)∼(c,d)⇔a×Nd=b×Nc(a,b)\sim(c,d)\Leftrightarrow a \times_{\mathbb{N}} d = b \times_{\mathbb{N}} c
注 这里也要验证 ∼\sim 的等价性
这里更容易的理解方式是将有理数当作是一个分数进行计算

柯西序列的等价性质得到实数集

有理数柯西序列

用 ϵ−δ\epsilon-\delta 语言进行定义，我们有 (∀ϵ∈Q,ϵ>0)(∃k∈N)(∀m,n>k)(∣sm−sn∣<ϵ)(\forall \epsilon\in \mathbb{Q}, \epsilon > 0)(\exists k\in \mathbb{N})(\forall m,n> k)(|s_m - s_n|<\epsilon)

等价性质 （Cantor 定义）

定义 CC 是柯西序列的集合，那么我们称 r,s∈Cr,s\in C 是等价的若：(∀ϵ∈Q,ϵ>0)(∃k∈N)(∀n>k)(∣rn−sn∣<ϵ)(\forall \epsilon\in \mathbb{Q}, \epsilon > 0)(\exists k\in \mathbb{N})(\forall n> k)(|r_n - s_n|<\epsilon)
也就是说两个序列会收敛到同一个目标值，我们将实属集合 R\mathbb R 定义为 C/∼C/\sim
注意这里的CC 的值定义为其收敛目标，也就是说我们不要求CC的开头几项范围
同时这也依赖于实属集合是一个完备空间

戴维金分割法定义 Dedekind cut

定义

在有理数集合 x⊂Qx\subset \mathbb Q 使得

  1. x∉∅x\not\in \emptyset 且 x≠Qx\not=\mathbb Q
  2. x 向下closed,即 (∀p,q∈Q)(p<q→q∈x→p∈x)(\forall p,q\in \mathbb Q)(p < q \to q\in x \to p\in x)
  3. x 没有最大元素
    因此我们定义 R\mathbb R 为戴维金分割集合

符号

定义 ≤R\le_{\mathbb R} 为 x≤Ryx\le_{\mathbb R} y 表示 x⊂yx\subset y

上界定理

对于实数集的每一个 子集 A, 都是向上约束(bounded above), 因此也具有了最小上界 (least upper bound)

max 定义

对于 u=max⁡x,yu = \max{x,y}

  1. x≤u,y≤ux\le u, y\le u
  2. 若 x≤u′,y≤u′x \le u', y\le u' 那么 u≤u′u \le u'
    这个算符定义了 [u,+∞)[u,+\infty) 集合

min 定义

对称定义，能够定义 (−∞,l](-\infty, l]

集合的等势性 equinumerosity

我们称呼集合 A 和 集合B是等势的如果 存在 A 到 B 的双射，写作 A≈BA\approx B
或者说就是两个集合的元素数量相等，能一一对应
注 等势符号并不是一个 equiv 关系，因为它执行对象是 所有集合

无穷集合的等势

在一百年前有一些人思考过这个问题，从而得出了著名的 希尔伯特旅馆问题

康托尔配对函数

康托尔曾经提出了一种将一对非负整数唯一的映射到一个非负整数的函数

J(x,y)=12​(x+y)(x+y+1)+yJ(x,y)=\frac{1}{2}​(x+y)(x+y+1)+y

这是一个双射函数，同时说明了 N×N≈N\mathbb N \times \mathbb N \approx \mathbb N 和上面的希尔伯特旅馆的问题非常相似
这个双射的定理表示对于唯一的 像元素，我们一个数可以逆映射到唯一的 pair，两个元素都是已知

Fueter-Polya 定理

这位瑞士数学家证明了 康托的二次配对函数是唯一的二次配对函数