复频域的意义

在复频域中，函数 F(s) 的变量 s 表示的是复平面上的一个点，这个平面被称为 s 平面（s-plane）。这个平面的实部 σ 和虚部 ω 分别对应着衰减和振荡的特性：
实部 σ：表示信号的衰减或增长速度。
虚部 ω：表示信号的振荡频率。
通过拉普拉斯变换，我们可以从 F(s) 中分析系统的稳定性、响应特性等。

应用示例

例如，对于一个线性时不变系统（LTI system），其输入输出关系可以用微分方程表示。通过对这个微分方程应用拉普拉斯变换，可以将其转换为一个代数方程，这样就可以更方便地求解系统的传递函数（transfer function）和频率响应（frequency response）。

拉普拉斯和傅里叶

这是拉普拉斯变换公式

L{f(t)}=F(s)=∫0∞e−stf(t) dt\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt

这是傅里叶变换公式

F{f(t)}=F(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωt dt\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} \, dt

我们简单可以看出， 拉普拉斯变换是将一个时域函数变换到 复数域空间
傅里叶变换是将一个时域函数映射到一个 纯虚数域，或者说频域空间
所以，拉普拉斯会多一个衰变或者增长的实部，同时又有一个振荡的虚数变量