torque

8. 扭矩 torque

• 扭矩

  • 假设

    • 1. 扭动的角度很小
    • 2. 轴的长度不变
    • 3. 轴的半径不变

  • 公式

    • 

    • $\gamma = \rho \frac{d\phi}{dx}$ , $\phi$ 表示的是切面的变角

    • $\gamma = (\frac{\rho}{c})\gamma_{max}$, 其中 $c$ 表示的是外圆弧

    • 微元切应力 $\tau = G\gamma$ ， 其中 $\tau$ 是切应力， $\gamma$ 是应变角

      • 
      • 根据公式2， 我们有 $\tau = (\frac{\rho}{c})\tau_{max}$

    • 面的切应力等式 $\tau = \frac{T\rho}{J}$

      • 其中 $J$ 是二维面的转动惯量 $J = \int \rho^2 dA$
      • 对于一个圆，其转动惯量为 $J= \frac{\pi}{2}c^4$

    • 功率

      • $P = 2\pi f T$
      • $1 hp = 550 \operatorname{[ft\cdot lb/s]}$

    • 宏观应变角 $\phi = \frac{TL}{GJ}$

      • 对比轴向力的长度变化 $\delta = \frac{FL}{EA}$
      • 同理我们也可以对分布式的力矩积分得到总的角应变

    • 带洞的柱子的应变

      • 只有 $J$ 发生变化， $\tau = \frac{T\rho}{J}$，$\phi = \frac{TL}{GJ}$ 的公式都成立

• 工程设计的要求

  • 1. 切应力 $\tau$ 不能太大, 否则机械结构可能会解体破损
  • 2. 角应变 $\phi$ 不能太大, 否则操作者可能会被机械振动干死