stress_strain

6.2 应力和应变理思路

• 轴向应力应变

  • stress: $\sigma = \frac P A$

    • 单位: 压强

  • strain: $\epsilon = \frac \delta {L_0}$

    • $\epsilon$ 表示的是相对变长量，没有单位，但是可以写作 $\operatorname{(mm/mm)}$
    • 绝对伸长量 elongation $\delta = \Delta L = \epsilon L_0$

• 经典 SS 图像 Stress - Strain Diagram

  • 如下，从应变为 0 到分解依次为 弹性形变 elastic, 塑性形变 yielding, strain hardening, necking
    • 
  • 上半段的折线表示的是真实 SS 图像，下半段包含阴影面积的是两端施加的应力
  • 与零点斜率越大，stiffness 刚度 越大，越硬

• 延展性材料的 SS 图 Ductile Diagram

  • 在解体之前能够承受很大的压强的物质是延展性材料

  • 描述延展性强弱的参数

    • 伸长率 $\operatorname{Percent\ elogation} = \frac {L_f - L_0}{L_0}$

    • 面积缩减率 $\operatorname{Percent\ reduction\ of \ area} = \frac{A_0 - A_f}{A_0}$

      • 注意这两个计算顺序是不一样的，目标是正数
      • $f$ 表示的是解体状态
      • 两者越大就说明延展性越好

  • 很多延展性材料不存在恒定 yield 力范围

    • 通过 $0.2\%$ offset 来确定

  • 延展性材料不一定具有线性关系，例如天然橡胶

• 脆性材料 Brittle Material

  • 材料在解体前几乎没有发生形变的材料
  • 往往对轴向压力有很大的抵抗作用

• 外在性质对材料性能的影响：

  • 合金（alloy）的含量：金属越纯，延展性越好，越合金脆性越强
  • 温度：低温下硬且脆，高温下软而延展性好

• 应变力计算公式 胡克定律

  • $\sigma = E \epsilon = \frac{\delta E}{L_0}$

    • E: modulus of elasticity/ Young’s modulus, 单位 $\operatorname{Pa/psi}$

  • 塑性形变恢复：

  • 恢复斜率满足胡克定律且模量不变（如下）

    • 

• 应变能量

  • strain energy density: $u = \frac{\Delta U}{\Delta V} = \frac{1}{2}\sigma \epsilon = \frac 1 2 E\epsilon^2$ 单位 $Pa$
  • 对于非弹性形？？
  • 弹性模量 Modulus of resilience $u_r = \frac{1}{2} \sigma_{pl}\epsilon_{pl} = \frac 1 2 \frac {\sigma_{pl}^2}{E}$ 表示的是弹性形变能储存的总能量密度，（单位体积能提供的弹性能量）
  • 韧性模量 Modulus of toughness $u_t $ 为整个 SS 图的面积，表示的是延展性材料能提供的最大能量密度

• 泊松比 Poisson’s Ratio

  • 对受到轴向张力的物体，轴向会伸长，径向会压缩

  • 泊松发现，对于某一个 homogeneous, isotropic 材料而言，其泊松比保持一致

  • $v = -\frac{\epsilon_{lat}}{\epsilon_{long}}$

    • $-$ 表示两个应变方向相反，轴向延长则径向压缩等
    • 泊松比没有单位
    • 大多数金属的 $v$ 在 $(\frac 1 4, \frac 1 3)$, 最大不超过 $\frac 1 2$

• 切应力 SS 图像

  • shear modulus of elasticity/ modulus of rigidity $\tau = G\gamma$

    • $\gamma$ 是角度应变 $\frac{\theta}{\frac \pi 2}$

  • 切模量和法模量的关系 $G = \frac{E}{2(1+v)}$