10. 受剪切 shear

  • 公式推导

    • 首先我们考虑如下图所示的beam的受力

    • 我们截取其中的一小段分析

    • 从水平方向可以看出受力效果

    • 截取上半部分阴影部分进行分析，我们会发现从平衡考虑，下切面存在切外力，构建水平方向受力平衡等式：

      • ∫A′σ′dA′−∫A′σdA′−τ(tdx)=0\int_{A'}\sigma'dA' - \int_{A'}\sigma dA' - \tau(tdx) = 0

      • 用bending 进行改写得到等式 ∫A′(M+dMI)ydA′−∫A′(MI)ydA′−τ(tdx)=0\int_{A'}(\frac{M+dM}{I})ydA' - \int_{A'}(\frac{M}{I})ydA' - \tau(tdx) = 0

        • 这里的 yy 指的是离中性面的距离

      • (dMI)∫A′ydA′=τ(tdx)(\frac{dM}{I})\int_{A'}ydA' = \tau(tdx)

      • 解算出切应力 τ=1It(dMdx)∫A′ydA′\tau = \frac 1 {It}(\frac{dM}{dx})\int_{A'}ydA'

      • 已知切应力满足 V=dMdxV = \frac {dM}{dx}

      • 定义切面中心 Q=∫A′ydA′=yˉ′A′Q = \int_{A'}ydA' = \bar y'A'

    • 导出切应力 shear stress 等式 τ=QVIt\tau = \frac{QV}{It}

      • 切应力算出来的是到中性面某个距离的无限小的一层力

      • 那么我们用积分就可以得到一个面的切应力大小

      • V(y)=∫y0ymaxτtdyV(y) = \int_{y_0}^{y_{max}} \tau tdy, 若根据惯例将 VV 设置为 1，我们有

      • V(y)=∫1IQ(y)dy=1I∫yˉAdyV(y) = \int\frac{1}{I}Q(y)dy = \frac 1 I\int\bar y A dy

        • 如果对于工字钢，我们在形状突变的地方看，斜率会突变，但是曲线连续
        • 对于一个工字钢整体，我们计算web整体的时候，要乘以 2 （上下表面都有受力）

  • 物理解释

    • 已知一个bulk 受力的时候会出现 两对等大反向的切应力，形成两对力矩互相平衡，但是会应变
    • 因此我们在计算轴向的切力的时候，用的是 bending 的切力 VV

  • 应用

    • 我们将切应力的式子代入一般矩形得到 τ=6V(h24−y02)bh3\tau = \frac{6V(\frac{h^2}4 - y_0^2)}{bh^3}, 这里的 y0y_0 表示的是上面的阴影面积的

  • Shear Flow

    • 常用的形式

      • rivet 铆钉
      • bolt 螺栓
      • screw 螺杆
      • nail 钉子

    • 面的性质

      • q=VQIq = \frac{VQ}{I} 强调一个截面的性质
        • 例如上图装置，我们在计算侧面的shear flow 的时候是通过取中间板底面的压强大小来计算的
        • 我们可以去除两侧的板，换成一个下面的整块物体达到同样效果，那么下面的物体受到的力就是 τ=q⋅d\tau = q\cdot d, dd 是板子厚度
        • 等效回来，我们就有了侧面的 shear stress 等于 中间板最下面处的受压大小
        • 同理上面这个图，受力点也就是中间板底面 qd 的大小
      • q=nFsq = \frac {nF}{s}

    • 钉子上的压强

      • τ=FA\tau = \frac{F}{A}

    • 对于一个桥梁，我们会发现靠近中间的位置的shear最小，也就是说，我们最靠近中间的地方反而不需要钉子，两端应该多一点