382 复习

  • 失效判据 Failure Criteria ( Slides 13 )

    • 断裂判据: Brittle Material

      • 最大轴向力 Maxima Normal Stress Fracture Criterion

        • σˉN=max⁡(∣σ1∣,∣σ2∣,∣σ3∣)\bar{\sigma}_N = \max{(|\sigma_1|,|\sigma_2| ,|\sigma_3|)}

      • 一般来说,材料受压的能力会强于受到拉伸的能力

      • 将能承受的力的范畴化成而为图像, 就能得到一个正方形

        • 由于拉伸强度弱于压缩强度,所以正方形的中心会到第三象限
        • 写作 ∣σut∣<∣σuc∣|\sigma_{ut}| <|\sigma_{uc}|
        • 如果有一个主应力给的是负数,那么整体的应力就会存在于画出来的斜线之间,这两根斜线也是由于库伦摩尔圆导致的

    • 屈服判据: Ductile Material

      • 最大切向力 Tresca yield criterion

        • 公式 τmax=max⁡(∣σ1−σ2∣,∣σ2−σ3∣,∣σ1−σ3∣)\tau_{max} = \max{(|\sigma_1 - \sigma_2|,|\sigma_2 - \sigma_3|,|\sigma_1 - \sigma_3|)}

      • Von Mices 判断标准

        • 公式: τ=12((σ1−σ2)2+(σ2−σ3)2+(σ1−σ3)2)\tau = \sqrt{\frac 1 2((\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_1 - \sigma_3)^2)}
        • 前提: 我们首先要求出三个主应力

  • 断裂力学 LEFM ( Slides 14 - 15, 假设 16 不考)

    • 裂痕区别

      • 法向
      • 沿向
      • 切向

    • 应力集中系数

      • kt=σySk_t = \frac{\sigma_y}{S}

        • σy\sigma_y 表示该点处最大的normal stress
        • SS 表示远处的力在此处形成的应力

    • 强度系数 Intensity factor K

      • 对于几乎没有塑性形变的断裂,我们认为这是脆性材料,我们使用 Linear-elastic Fracture Mechanics (LEFM) 进行描述

      • 应力集中系数 KK stress intensity factor: 描述一个 crack 对于应力的集中量

        • 我们有一个临界指标 KcK_c 用于描述断裂硬度, 与温度, 负载量, 材料厚度有关
        • 公式 K=SπaK = S\sqrt{\pi a} (a << b)

      • 我们衡量是否会发生断裂的前提就是 S<ScS < S_c 或者 K<KcK < K_c , 二者满足等式 Kc=ScπaK_c =S_c\sqrt{\pi a}

      • 假设塑性不考

      • 临界裂痕长度 at=1π(Kcσ0)2a_t = \frac 1 \pi (\frac{K_c}{\sigma_0})^2

        • 小于临界裂痕尺寸的情况: 会发生 yield 但是不会发生 fracture
        • 大于临界裂痕尺寸的情况: 会发生断裂
        • 判断方法: 对于脆性材料而言, KcK_c 小, σ0\sigma_0 大, 导致 ata_t 小, 更适用 LEFM 模型

      • 第二种算法: K=FPPtbK = F_P\frac{P}{t\sqrt b}

        • FP=FSgtπabPF_P = F\frac{S_gt \sqrt{\pi ab}}{P}

      • leak before break 模型

        • cc=1π(KIcσt)2c_c = \frac{1}{\pi}(\frac{K_{Ic}}{\sigma_t})^2

        • 气压罐的压强 σrr=−P,σθθ=Prt,σzz=Pr2t\sigma_{rr} = -P, \sigma_{\theta\theta} = \frac{Pr}t, \sigma_{zz} = \frac{Pr}{2t}

        • 要求 ac=cc>ta_c =c_c > t

        • 前提: 不发生 yield, 也就是 PRt<23σY\frac{PR}{t} < \frac{2}{\sqrt 3} \sigma_Y

          • 规律: strength↑⇔KIc↓strength \uparrow \Leftrightarrow K_{Ic}\downarrow

    • 断裂几率 Ps(V0)=exp⁡{−(σσ0)2}P_s(V_0) = \exp\{-(\frac{\sigma}{\sigma_0})^2\}

      • 也叫 weibull 分布
      • 当 σ=σ0\sigma = \sigma_0 的时候，我们有偶 Ps(V0)=1eP_s(V_0) = \frac{1}{e}
      • 不同概率互推公式 Ps(V)=(Ps(V0))n=(Ps(V0))V/V0P_s(V) = (P_s(V_0))^n = (P_s(V_0))^{V/V_0}

  • 疲劳 Fatigue ( Slides 18 - 21 )

    • 疲劳的截面图像

      • beach mark: 侧面是条纹状的，必然由 fatigue 导致

        • 反之，没有变化的负载就不会形成 fatigue

    • 循环应力（Cyclic Loading）

      • σa=Δσ2=σmax−σmin2\sigma_a=\frac{\Delta\sigma}{2}=\frac{\sigma_{max}-\sigma_{min}}{2}, σm=σmax+σmin2\sigma_{m}=\frac{\sigma_{max}+\sigma_{min}}{2}
      • R=σminσmax,A=σaσmR=\frac{\sigma_{min}}{\sigma_{max}},A=\frac{\sigma_a}{\sigma_m}
      • σa=σmax2(1−R),σm=σmax2(1+R)\sigma_a=\frac{\sigma_{max}}{2}\left(1-R\right), \sigma_{m}=\frac{\sigma_{max}}{2}\left(1+R\right)

    • 基于应力（S-N Curves）

      • S-N 曲线描述的是在给定应力的情况下材料能承受应力的 cycle 数量
      • Basquin’s Law: σa=ANfB\sigma_a=AN_f^B or σar=σf′(2Nf)b\sigma_{ar}=\sigma_f^\prime\left(2N_f\right)^b
      • 要注意判断是否达到σe\sigma_e（fatigue limit）

    • 平均应力效应（σm≠0\sigma_m\not=0）

      • Goodman’s Equation：σaσar+σmσu=1\frac{\sigma_a}{\sigma_{ar}}+\frac{\sigma_m}{\sigma_u}=1

        • σm\sigma_m 是平均应力
        • σu\sigma_u 是 ultimate tensile stress
        • 整体的目标是获得 σar\sigma_{ar} 从而可以使用平均值为 0 的振幅，而可以使用 Basquin Law

      • Morrow’s Equation：σaσar+σmσf′=1\frac{\sigma_a}{\sigma_{ar}}+\frac{\sigma_m}{\sigma_f^\prime}=1

      • σa\sigma_a-NfN_f的一般形式：$ \sigma_a=\left(\sigma_f^\prime-\sigma_m\right)\left(2N_f\right)^b$

        • σf′\sigma_f' 和 bb 都是常数 ，查表获得

    • 变振幅载荷

      • Palmgren-Miner Rule：Bf∑NiNfi=1B_f\sum\frac{N_i}{N_{fi}}=1
      • Cycles Counting

    • 疲劳测试 Fatigue

    • 缺口效应（Notched Effect）

      • 疲劳缺口系数（Fatigue Notch Factor）：kf=σarSark_f=\frac{\sigma_{ar}}{S_{ar}}（definition）or kf=1+q(kt−1)k_f=1+q(k_t-1)（empirical estimate， 经验公式）
      • q为缺口敏感度（notch sensitivity）：q=11+αρq=\frac{1}{1+\frac{\alpha}{\rho}} （Peterson） or q=11+βρq=\frac{1}{1+\sqrt{\frac{\beta}{\rho}}}（Neuber）（q=0q=0, kf=1k_f=1, ductile；q=1q=1, kf≈kt>1k_f\approx k_t>1, brittle ⇒\Rightarrow brittle 对于 notch 的更加 sensitive）
      • Goodman Equation（Notched）：SaSar+Smσu/kfm\frac{S_a}{S_{ar}}+\frac{S_m}{\sigma_u/k_{fm}}, 其中Sar=σarkfS_{ar}=\frac{\sigma_{ar}}{k_f}（通常认为kf=kfmk_f=k_{fm}）

    • 裂纹生长（Fatigue Crack Growth）

      • 疲劳断裂面分两个区域：beach mark 和 fast fracture zone
      • minimum detectable length ada_d
      • 疲劳裂纹生长速率（fatigue crack growth rate）：dadN=C(ΔK)m\frac{da}{dN}=C(\Delta K)^m，疲劳裂纹生长速率与几何形状无关，与R=KminKmaxR=\frac{K_{min}}{K_{max}}有关
      • Walker’s Equation：ΔK‾=ΔK(1−R)1−γ\overline{\Delta K}=\frac{\Delta K}{(1-R)^{1-\gamma}}，ΔK‾\overline{\Delta K}为等效零到拉伸应力强度范围（equivalent zero-to-tension stree intensity range），RR的影响体现在CC上
      • C=C0(1−R)m(1−γ)C=\frac{C_0}{(1-R)^{m(1-\gamma)}}, m,γ,C0m,\gamma,C_0均为材料常数
      • 断裂时的裂纹长度：ac=1π(KcFSmax)a_c=\frac{1}{\pi}\left(\frac{K_c}{FS_{max}}\right)
      • 完全塑性的屈服可能在Kmax=KCK_{max}=K_C前发生，a0a_0（crack length at fully plastic yielding）可从Sn,max=σ0S_{n,max}=\sigma_0推出（a0a_0貌似不那么会考？）
      • 失效时的裂纹长度af=min⁡(ac,a0)a_f=\min\left(a_c,a_0\right)
      • Nif=af1−m/2−ai1−m/2C(FΔSπ)m(1−m/2)N_{if}=\frac{a_f^{1-m/2}-a_i^{1-m/2}}{C(F\Delta S\sqrt{\pi})^m(1-m/2)}（m≠2m\not=2）; Nif=ln(af/ai)πC(FΔS)2N_{if}=\frac{\text{ln}(a_f/a_i)}{\pi C(F\Delta S)^2}（m=2m=2）
      • ΔS=Smax(1−R)=Smax−Smin\Delta S=S_{max}(1-R)=S_{max}-S_{min}

    • SWT Methods是否重要？

    • 影响疲劳的因素（选择题可能会考？）

  • 蠕变 Creep (Slides 22)

    • Larson-Miller Parameter（LMP）：PLM=T(logtr+C)P_{LM}=T\left(\text{log}t_r+C\right), TT in KK and trt_r in hours

  • 安全系数