mass_center_moment_of_inertia

4. 质心和转动惯量

• 质心 centroid

  • 对于均匀分布的物体，$\bar{x} = \frac{\int \tilde{x}dW}{W}$ 即对位移乘以质量的积分比质量得到质心的坐标

  • 考虑到质量均匀分布，即密度一致，我们可以化简到 $\bar{x} = \frac{\int \tilde{x}dV}{V}$

    • 对于一个二维平面我们可以简化为面积的积分
    • 一般会把 $dV$ 变为 $dx\cdot dy\cdot dz$ 三维，再将 $dy\cdot dz$ 变为平面的积分得到平面关于某个轴进行积分

  • 复合体的质心位置

    • 将每个均匀规则物质求出其质心的位置，再通过质量进行加权平均得到整体的质心位置

  • 力心：对于分布式力，我们可以求出力的等效作用位置 $x = \frac{\int xdF(x)}{F}$ 这里利用了力矩等效的知识

• 分布式力的示意图

  • 在力的图中我们可以看到力线关于长度进行积分，也就是力的分布图的面积 = 力的大小

  • 等效力的作用位置（考虑等效力矩）利用积分得到

    • 注意这里力矩其实是力的分布关于 位移 $x$ 的二次的积分， 即 $\int x \cdot w(x)dx$ ,前者则是函数关于 $\int w(x)dx$ 的一次积分，二者相比得到等效力臂

• 转动惯量计算 Moment of Inertia

  • 二维面的转动惯量 （转轴垂直于平面，轴点为零点 $O$ ）$I_x = \int_A y^2dA$, 单位 $\operatorname{m}^4$ 注意 $x$ 表示的是沿着 $x$ 轴转动

    • 对于一个物体的转动惯量计算，我们应该通过轴的一端积分到另一端而不是只有从轴到一端

  • 平行转轴定理 $I_z = I_O + Ad^2$

    • $I_z$ 表示新的转动惯量
    • $I_O$ 表示的是经过质心 $O$ 点的转动惯量
    • $A$ 表示的是二维平面的面积
    • $d$ 表示的是两次转轴的转心距离

  • 复合面的转动惯量计算方式：各部分相加/完整体减去部分缺漏体

  • 垂直轴定理： $I_x + I_y = I_z$ 其中约定平面沿着 $xy$ （不需要经过质心，平面必定满足该定理）