1. 力学

力偶 force couple:
- 定义: 一对非共线的等大反向的力
- 作用：物体的转动都是由力偶导致的，通过寻找一对力偶的间距 $d$ 和力的大小 $F$ , 我们可以得到力矩 $M=Fd$
- 力偶的作用面：一对力偶占据的平面
- 力偶的表示方式：
  - a. 受力分析图
  - b. 带有箭头的弧线，符号为 $M$
- 基本性质：
  - a. 力偶在任意坐标轴上的投影为0
  - b. 力偶没有合力，力偶不能和力平衡，力偶只能和力偶平衡
    - 含义：当物体平衡时，受到力偶为0，对于不受到外界力偶的杆受力延杆方向
  - c. 力偶对物体只产生转动效果，不产生平动效果 -> 只能原地转动
  - d. 力偶对作用面内任意一点均可以作为力偶矩的中心点，力偶矩不变
  - lemma：力偶矩不变时，力偶可以在平面任意动（平/转）而不改变其对刚体的作用效果
  - lemma: 力偶矩不变，可以同时改变力偶的方向和大小而不改变作用效果
定轴转动：
- 模： $M_a=\bar{u_a}\cdot(\bar{r}\times \bar{F})$
  - 解释：先通过经典公式算出标准的 moment $M_0$ , 由于作用效果一定是绕着轴进行转动，所以结果 moment 一定沿着轴的方向，即将 $M_0$ 向着轴的方向投影（数量积），得到的是模的值
- 计算公式: $M_a =\det\begin{pmatrix} u_{ax} & u_{ay} & u_{az}\r_x & r_y & r_z\F_x & F_y & F_z \end{pmatrix} $ 得到的是标量值
- 矢量结果： $\bar{M_a}=M_a\cdot \bar{u_a}$
等效力：
- 二维力系:
  - 两个等式： $F_x,F_y$
- 三维平行力系：
  - 三个等式： $F_z, M_x, M_y$
平面汇交力系:
- 平面任意力系化简：
  - 力的平移定理：将作用于刚体点 $A$ 的力对 $B$ 点的作用效果，即在 $B$ 点做出与 $A$ 平行等大以及反向的一对作用力，结果得到作用力 $F_B$ 以及力偶导致的转矩 $M_A$ .
  - 主矢： $\Sigma F_i$ , 与作用点位置无关
    - 作用线：当 $\Sigma M_o = 0$ 时我们可以将主矢等效作用于点 $o$ 而不产生转矩，这可以沿着主矢的方向发生平移
  - 主矩： $\Sigma M_O$
    - 简化 $F\not=0 \ & \ M\not = 0 $ 的情况：等效力臂 $d = \frac{M}{F}$ , 我们可以将其化简为平行于主矢且距离作用点 $d$ 的一组同向作用力
    - 求等效作用线：等式 $M_O = \Sigma \bar{r}\times\bar{F}$ ，用 $x,y$ 实现正交分解得到含有 x 和 y 的等式
不等力杆的构造
- 对于刚体的一部分形成了一个不等力杆，即二力反向但是大小不相等， $F_1<F_2$ , 则我们将内部力矩等于 $F_1d$ , 而由于平衡，外部必然提供了一个 $-(F_2-F_1)$ 的力，则找到垂直距离 $D$ , 得到新的力矩就是 $M_2 = -(F_2-F_1)D$ , 刚体上的力矩由这两个力矩之合决定
平面力系
- 平面力系一般只有两类：平面汇交力系与平面平行力系
- 汇交力系：
  - 1. 可以经过正交分解分裂为 $F_x, F_y$ 这样就会产生一组平行力系
  - 1. 也可以通过力的平移：汇交力系的力必须沿着力的作用线平移，不平行则产生交点，有交点就是等效作用点，在该点处求合力 $\Sigma F $, 合力通过里的作用线平移到刚体上得到原来的作用效果，产生的线叫做力的作用线
    - 证明：把理论上的刚体扩大到经过作用点
- 平行力系：
  - 法向二力杆模型：
    - 当 $F_1 = F_2 $ 时候产生力偶，这样对系统整体没有平动作用只有转动效果
      - 在平衡状态下每个力都会形成等二力杆
    - 不等力二力杆：详见前面的不等力杆的构造
  - 空间平行力系
    - 等效作用位置为沿着各个轴作为转轴下的合力矩分别相等得到