9. 弯曲 bending

  • 受弯形变

    • 中性面 centroid 不发生应变

    • 一面受拉一面受压

    • 本质上是axial load 的积分

    • 我们有到中性面的距离是 yy 的面 PQ

    • 在外力作用下发生弯曲，曲率半径对应圆心角是 θ\theta (如下图)

      • 公理：在侧面不发生弯曲（即保持平面）的情况下，侧面距离 yy 不发生变化
      • 那么在一定角度下，我们可以计算 PQ 面的应变 ϵx=lim⁡P′Q′−PQPQ=−yρ(x)\epsilon_x = \lim\frac{P'Q' - PQ}{PQ} = \frac{-y}{\rho (x)}

    • 对上述式子求应变得到 $\sigma_x = E\epsilon_x = \frac{-E(x)y}{\rho(x)} $

    • 则受力 F=∫σxdAF = \int \sigma_x dA

    • 则力矩 M=−∫yσxdAM = -\int y\sigma_xdA

      • 由于是力矩，必然满足比例关系，那么我们有等式 σx=σmax⋅yc\sigma_x = \sigma_{max}\cdot \frac{y}{c}

      • 导出式 M=−ϵmaxc∫y2dAM = -\frac{\epsilon_{max}}{c}\int y^2dA

      • 同样的，我们可以从宏观得到微观 σx=−M(x)yI\sigma_x = - \frac{M(x) y}{I}

      • 微观应变 ϵx=−MyEI\epsilon_x = -\frac{My}{EI}

        • 这里我们称 EIEI 为 effective bending stiffness

      • 假设满足质心和中性面重合的条件：

        • 直梁
        • 材料相同

      • 工字钢结构分析

        • 如图为工字钢基本结构，通过简化可以将构型变成一个竖直的矩形（flange）和两个水平放置的矩形（web）
        • 根据矩形的转动惯量计算，工字钢的转动惯量等于各部分相加（flange 由平行轴定理得到）
        • 工字钢的应力和web长度有关，web越长，II越大，σ\sigma 小，应变也更小

      • 复合体受弯曲 composite bending

        • 类工字钢 I beam 结构
        • tube 管道具有良好的隔热属性
        • 蜂窝状支撑
          • 常见于 F1 赛车的核心部分构造
        • 多材料复合结构

          • 应变是连续的

          • 应力在不同的层之间有突变，各自部分连续

          • 多材料的中性面位置 yˉ=ΣEiAiyˉiΣEiAi\bar y = \frac{\Sigma E_i A_i \bar y_i}{\Sigma E_i A_i}

            • 我们可以总结为 stiffness attract force

  • 常用参数

    • 矩形的转动惯量 I=112bh3I = \frac{1}{12}bh^3 , 转轴方向水平（b方向）
    • 弯曲劲度系数 effective bending stiffness EIEI

  • 应变

    • 通过局部分析 1ρ=−ϵy\frac 1 \rho = -\frac \epsilon y, ϵ=−M(x)yEI\epsilon = \frac{-M(x)y}{EI}

    • 应变等式 1ρ=−MEI\frac 1 \rho = - \frac M {EI}

      • 曲率半径 1ρ=d2vdx2[1+(dvdx)2]32\frac 1 \rho = \frac{\frac{d^2 v}{dx^2}}{[1+(\frac{dv}{dx})^2]^{\frac 3 2}}
      • 令 1+(dvdx)2≈11+(\frac{dv}{dx})^2 \approx 1

    • 导出等式 d2vdx2=MEI\frac {d^2v}{dx^2} =\frac M {EI}

      • vv 表示的是 y 方向形变位移

        • fix 点边缘的位移为 0
        • 横梁有支撑的位置位移为 0
        • 位移最大：边缘或者极值点(下面斜率为 0 的点)

      • dvdx\frac{dv}{dx} 表示的是斜率，一般找水平的位置

        • fix 的边缘
        • 对称支撑的中点
        • 非对称的 V=0V = 0 的点不是哦
        • 单点分布的力位置也不是哦

      • inflection point 转矩为 0 的点

      • 解微分方程

        • EIv′′=M=−PxEIv'' = M = -Px (这里用单受力模型，或者是说是跳水板模型， x 为从受力点向内的距离，板长 L)

        • EIv′=−P2x2+C1EIv' = - \frac P 2x^2 +C_1

          • C1C_1 通过斜率为 0 的点分析解决 ivp

        • EIv=−P6x3+C1x+C0EIv = -\frac P 6 x^3 + C_1x +C_0

          • C0C_0 通过位移为 0 得到点分析解决 ivp