7. 轴向受力

Saint-Venant’s Principle
轴向力的弹性形变
- $\sigma = \frac{P(x)}{A(x)} = E(x)(\frac{d\delta}{dx})$ , $\epsilon = \frac{d\delta}{dx}$
  - $d\delta = \epsilon dx $
- $\delta = \int_0^L \frac{P(x)dx}{A(x)E(x)}$
  - 对于恒定外力和横截面积的长度变化 $\delta = \frac{PL}{AE}$
  - 对于函数式分布力（单位：N/m），我们其实首先要通过积分得到 $P(x)$ 的表达式（单位：m），然后再用积分得到应变的表达式
    - 最经典的模型就是重力，通过积分得到不同高度的总重力，然后通过积分得到各高度的应变
- 方向：规定 tension, elongation 方向为正方向
- 对于散点式分布力
  - 通过各自部分的长度应变求和得到最终的长度
  - 对于各个散点，定义 tension 是正，compression 是负
  - 通过 $\sum\frac{FL}{EA}$ 得到，注意方向正负性和参考点坐标
不定力的应变计算 indeterminate
- 对于在某一方向上具有多个力各自未知，但是知道其合力，我们也可以计算这个力的应变
- 一般要求两端距离相对固定，这样通过计算到施加外力点C的两端作用力会有等式（分别从两端开始向中间分析）
- 如果两端有少量相对位移，我们也可以有等式 $\delta_{A/B} = \frac{F_A L_{AC}}{AE} - \frac{F_BL_{CB}}{AE}$
  - 本质上就是两端的形变差
  - 如果发生形变，势必会产生一个弹性力，但是用杨氏模量转化为应变长度就好算一些 $\frac{\delta_{A/B}}{L_0}E A = -F_A - F_B $
    - 注意这里的弹性力的产生并不会削减 $P$ 的大小，因为弹力是内力
    - 弹力不会影响内力的分布，只会表现为应变，但是传导过程中不会失效，只有撤销外力弹力才会起到恢复作用