5. 刚体的转动

从欧拉运动定律到转动惯量
- 由于在刚体的平动作用中整个刚体的速度是一致的 $\Sigma M_P = \int \vec r \times \vec a dm = (\int\vec r dm)\times \vec a = \vec r_{PC} \times (m\vec a)$
  - 由于在外力等式时候使用 $F = m\vec a$ 变换，导致需要惯性系作为前提
- 平动的力矩为 0，或者说质心处的力矩为 0.
- 角动量公式 $H_P = \int _{\mathcal B} \vec R \times \vec v dm$
  - $\vec R$ 表示的是从 $P$ 到点的距离
  - 通过角动量进行变换得到 $\vec H_P = \vec r_{PC} \times m\vec v_P + \hat k\omega \int(x^2 + y^2 ) dm - \hat i\omega\int xzdm -\hat j\omega \int yz dm $
    - 注意在这一步用了刚体速度公式，因此这个公式的前提是物体是刚体
  - 为了方便表达，我们定义转动惯量作为张量为
    - $I_{zz}^PP = \int (x^2 + y^2)dm$ 表示物体绕着 $z$ 轴转动经过点 P 的转动惯量
    - $I_{xz}^P = -\int xzdm, I_{yz}^P = -\int yzdm$ 表示 product of inertia
  - 最终公式 $\vec H_P = I_{xz}^P \omega \hat i + I_{yz}^P\omega\hat j + I_{zz}^P \omega\hat k$
常见几何体的转动惯量
- 注意转动惯量是标量
- 绕着圆柱体对称轴转动的转动惯量 $\frac{mr^2}{2}$
- 绕着圆柱体中间向外的轴的转动惯量 $\frac{mr^2}{4} + \frac{mL^2}{12}$
  - 对于长杆 ( $L >> r$ ) $I = \frac{mL^2}{12}$
- 对于球体 $I = \frac 2 5 mr^2$
- 对于圆锥体 $I = \frac 3 {10} mr^2$
- 对于有孔圆柱体 $I = m\frac{r_{in} ^2+ r_{out}^2}{2}$
- 平行轴定理 $I_1 = I_0 + md^2$
  - 其中要求 $I_0$ 是经过质心的轴的转动惯量
  - 惯量积的平行轴定理 $I_{xz}^P = I_{xz}^C - m\bar x \bar z$
- 转动半径
  - 对于任意一点 $P$ ，物体转动对其的转动半径 radius of gyration 为 $k_{zz}^P$ 满足 $I_{zz}^P = mk_P^2 $
  - 可以直接使用平行转轴公式 $k_P^2 = k_C^2 + d^2$
从欧拉第二定律到力矩公式
- 已知欧拉第二定律规定，对于质点或者定点 C, 满足公式 $\Sigma M_C = \dot H_P$
- 对上述公式进行求导得到 $\Sigma M_C = (I_{xz} \alpha- I_{yz}\omega^2)\hat i + (I_{yz}\alpha+I_{xz}\omega^2)\hat j + I_{zz}\alpha \hat k$
- 我们很多时候的目标是将惯量积变成 0
  - 对于轴对称物体，只有
  - 对于二维转动问题， $z = 0$ 则我们认为 $I_{xz} = I_{yz} = 0 \Rightarrow M = I\alpha$
  - 注意惯量积为 0 要搭配 $\vec M \parallel \hat k$
非平衡的转动公式
- 如果转体的转轴不是其质心或者对称轴，那么必然会有 $I_{yz} \not = 0$ 或者 $I_{xz} \not = 0$
应用公式集合
- $\Sigma F_x = m\ddot x_C\\ \Sigma F_y = m\ddot y_C\\ \Sigma M_{cz} = I_C \ddot\theta$
  - 这里的 $I_C$ 常常理解为 $I_{zz}^C$
- 刚体角动量公式 $\sum\vec H = I_{xz} \vec \omega \hat i + I_{yz}\vec \omega\hat j + I_{zz}\vec \omega\hat k$