3. 刚体动力学

  • 刚体

    • 物体内部任意两点之间的距离不会随着时间变化
    • 等效刚体：在整个运动过程中两点之间距离不发生变化，虽然没有实质上的刚体关系，我们可以将此视作刚体

  • 平面运动

    • 整个过程运动方向只在 xy 平面内，也就是说 z 方向运动速度为 0 （z 坐标始终不变）
    • 例：烤鸭在串上转动的动作属于平面运动

  • 参考平面 Reference Plane

    • 任何平行于 xy 平面的面都是参考平面
    • 描述参考平面内的任意点至少需要两个点（两个点构成两个向量组成的基）

  • 描述平面内刚体的状态

      1. 使用 2 点坐标，即 (x1,y1),(x2,y2)(x_1, y_1),(x_2,y_2)
      1. 使用一点坐标 + 一个转过的角度，即 (x1,y1),θ(x_1,y_1), \theta
      • 有与刚体两点之间的距离是一个固定值，所以只需要一个 θ\theta 就可以描述方向

  • 刚体两点的速度表示

    • 刚体上两点 P, Q ，我们首先有相对于固定点的位移公式 r⃗OQ=r⃗OP+r⃗PQ\vec r_{OQ} = \vec r_{OP}+\vec r_{PQ}

    • 求导得到 v⃗Q=v⃗P+r⃗˙PQ\vec v_Q = \vec v_P + \dot{\vec r}_{PQ}

      • r⃗PQ=rPQ⋅u⃗PQ\vec r_{PQ} = r_{PQ}\cdot \vec u_{PQ} , 其中 rPQr_{PQ} 不随时间变化
      • r⃗˙PQ=rPQ⋅u⃗˙PQ\dot{\vec r}_{PQ} = r_{PQ}\cdot\dot{\vec u}_{PQ}

    • 得到两点速度公式 v⃗Q=v⃗P+θ˙k^×r⃗PQ\vec v_Q = \vec v_P + \dot\theta \hat k\times \vec r_{PQ}

      • θ˙\dot\theta 就是角速度大小，θ˙k^=ω⃗\dot\theta \hat k = \vec \omega , ω⃗×r⃗=v⃗\vec \omega \times \vec r = \vec v 就是经典的线速度表示法

      • 例题

        • 对于两点状态我们可以有两个点分别的速度大小和角度表示（一共四个变量）但是我们只有 两个方程 （简单理解为 i 和 j 的系数分别相等），如果一个未知，那么我们就还会需要一个几何关系用来告知角度或者长度；同时我们能解出该点的角速度

      • 那么我们发现某点速度要基于另一个点的线速度推导出来，那么如果能找到线速度为 0 的点，那这个速度就只有一项非常好算

        1. 所以我们就要找到 瞬时 0 速度点

        • 这时候速度公式 v⃗Q=θ˙k^×r⃗SQ\vec v_Q = \dot\theta \hat k\times \vec r_{SQ}

        • 方向：v⃗Q⊥r⃗SQ\vec v_Q \perp \vec r_{SQ}

          • 所以找速度 0 点的方法就是将两点的速度矢量作垂线找交点

        • 大小：∣v⃗Q∣=∣θ˙∣∣r⃗SQ∣∝∣r⃗SQ∣|\vec v_Q| = |\dot\theta||\vec r_{SQ}| \propto |\vec r_{SQ}|

          • 所以如果两个速度垂线重合，就构成了相似三角形
          • 如果两条垂线完全平行，则说明二者无交点

        • 现实中最常见的无速度点就是 转轴 Pivot

        1. 或者我们可以定义没有转动的情况：translation 平动，也就是 v⃗Q=v⃗P\vec v_Q = \vec v_P

        • 注意：平动的定义：各部分速度相同

          • 但是平动的各部分加速度不一定相同，因为整体在做曲线运动的时候其各个部分曲率半径大小并不相同

  • 三重积问题

    • 标量三重积

      • a⋅(b×c)=det⁡(a,b,c)a\cdot (b\times c) = \det(a,b,c)
      • 几何上这常常被用来表示六面体体积

    • 矢量三重积

      • a×(b×c)=b(a⋅c)−c(a⋅b)a\times (b\times c) = b(a\cdot c) - c(a\cdot b)

      • 雅各比恒等式 a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0a\times(b\times c) + b\times (c\times a) + c\times (a\times b) = 0

        • 散度旋度恒等式 ∇×(∇×f)=∇(∇⋅f)−(∇⋅∇)f\nabla\times(\nabla\times f) = \nabla(\nabla\cdot f) - (\nabla\cdot \nabla)f

  • 刚体两点的加速度表示

    • 对速度公式求导得到 a⃗Q=a⃗P+θ¨k⃗×r⃗PQ+θ˙k⃗×rPQ⋅θ˙e^n\vec a_Q = \vec a_P + \ddot \theta \vec k \times \vec r_{PQ} + \dot \theta \vec k\times r_{PQ}\cdot \dot\theta \hat e_n

      • 已知 r⃗˙PQ=θ˙k^×r⃗PQ\dot{\vec r}_{PQ} = \dot \theta \hat k\times \vec r_{PQ} 得到 θ¨k^×r⃗PQ=θ¨k^×(θ˙k^×r⃗PQ)\ddot \theta\hat k \times \vec r_{PQ} = \ddot \theta \hat k \times (\dot \theta \hat k\times \vec r_{PQ})
      • 利用三重积公式获得 θ˙k^(θ˙k^⋅r⃗PQ)−r⃗PQ(θ˙k^⋅θ˙k^)=−θ˙2r⃗PQ\dot \theta \hat k(\dot\theta\hat k\cdot\vec r_{PQ}) - \vec r_{PQ}(\dot\theta\hat k\cdot\dot\theta\hat k) = -\dot\theta^2 \vec r_{PQ}

    • 所以加速度公式表现为 a⃗Q=a⃗P+θ¨k^×r⃗PQ−θ˙2r⃗PQ\vec a_Q = \vec a_P + \ddot \theta\hat k \times \vec r_{PQ} - \dot\theta^2\vec r_{PQ}

      • 这里的 θ\theta 表示的是 r⃗PQ\vec r_{PQ} 的角度变化
      • 也就是在速度公式多了一个离心加速度 （相当于是定义了一个参考系为 P 点）

    • 注意，瞬心是不能考虑其加速度的 （瞬心不是一个物质点，且其加速度不具备明确的物理意义，一般考试看的是其轨迹而不是速度大小）

  • 圆形滚动问题

    • 平地运动

      • 球心速度 v⃗C=θ˙k^×r⃗SC=θ˙k^×(−rj^)=θ˙ri^\vec v_C = \dot \theta \hat k\times \vec r_{SC} = \dot\theta\hat k\times(-r\hat j) = \dot\theta r\hat i

      • 球心加速度 a⃗C=θ¨ri^\vec a_C = \ddot \theta r \hat i

      • 接触点速度 a⃗S=a⃗C+θ¨k^×r⃗CS−θ˙2r⃗CS=θ¨ri^+θ¨k^×rj^−θ˙2rj^=−θ˙2rj^\vec a_S = \vec a_C + \ddot\theta\hat k \times \vec r_{CS} - \dot\theta^2 \vec r_{CS} = \ddot \theta r\hat i +\ddot\theta\hat k\times r\hat j - \dot\theta^2 r \hat j = -\dot\theta^2 r\hat j

        • 也就是只有向心加速度（参考物就是圆心参考系）

    • 弧形表面

      • 球心速度 vC=θ˙k^×r⃗SC=rθ˙e⃗tv_C = \dot\theta\hat k\times \vec r_{SC} = r\dot\theta \vec e_t

      • 球心加速度 a⃗C=rθ¨e⃗t+rθ˙e^t˙=rθ¨e^t+rθ˙s˙ρe^n\vec a_C = r\ddot\theta\vec e_t + r\dot\theta\dot{\hat e_t} = r\ddot\theta\hat e_t + r\dot\theta\frac{\dot s}{\rho}\hat e_n

        • ρ\rho 是从地表该点的曲率圆心到球心的距离

          • 为什么？因为真正移动的参考点/距离 应该考察球心的移动距离

            • 圆滚圆模型：
            • 将一个小圆 ® 在一个大圆 ® 里面滚动角度 θ\theta 而球心相对出发点转过的角度 ϕ\phi 存在如下关系：rθ=(R−r)ϕr\theta = (R - r)\phi (即球心走过距离等于边界滚动过线性距离)
            • 或者我们想想一个角度我们省略转动了外角的大小而直接转变了角度，也就是说我们转动一大圈而少转动了自身的360°一小圈（外角和）

        • s˙\dot s 就是速度大小，也就是 ∣∣vC∣∣=rθ˙||v_C|| = r\dot\theta

        • 加速度公式 a⃗C=rθ¨e^t+(rθ˙)2ρe^n\vec a_C = r\ddot\theta\hat e_t + \frac{(r\dot\theta)^2}{\rho}\hat e_n

      • 接触点加速度 a⃗S=a⃗C+θ¨k^×r⃗CS−θ˙2r⃗CS=(1+rρ)rθ˙2e^n\vec a_S = \vec a_C + \ddot \theta \hat k\times \vec r_{CS} - \dot\theta^2 \vec r_{CS} = (1+ \frac r\rho)r\dot\theta^2\hat e_n

  • 齿轮 Gear

      1. 线速度相等 $r_1 \omega_1 = r_2 \omega_2 $
      1. 角速度相等 r1α1=r2α2r_1\alpha_1 = r_2\alpha_2