4. 参考系运动

  • 参考系转换算法

    • 我们定义一个空间绝对参考系 F\mathcal{F} 这个参考系不动，定义正交基为 I^,J^\hat I, \hat J , 同时有一个跟随物体移动转动的参考系 B\mathcal B 拥有两组基为i^,j^\hat i, \hat j

    • 定义 i^\hat i 相对 I^\hat I 逆时针转动的角度是 θ\theta 然后我们就有了基转换公式

      • {i^=cos⁡θI^+sin⁡θJ^j^=−sin⁡θI^+cos⁡θJ^\begin{cases}\hat i = \cos\theta\hat I + \sin\theta \hat J\\\hat j = -\sin\theta\hat I + \cos\theta\hat J\end{cases}

      • 转动基求导公式

        • {i^˙=θ˙j^j^˙=−θ˙i^\begin{cases}\dot{\hat i} =\dot\theta \hat j\\ \dot{\hat j} = -\dot\theta \hat i \end{cases}

    • 在 B\mathcal B 中有一个任意向量 A⃗=Axi⃗+Ayj⃗\vec A = A_x \vec i + A_y\vec j

      • 对 A⃗\vec A 在 F\mathcal F 中对时间求导 FA⃗˙=A˙xi^+A˙yj^+Axi^˙+Ayj^˙=BA⃗˙+θ˙k^×A⃗^{\mathcal F}\dot{\vec A} = \dot A_x \hat i + \dot A_y \hat j + A_x \dot{\hat i } + A_y\dot{\hat j} = ^{\mathcal B}\dot{\vec A} + \dot\theta \hat k\times \vec A

        • 注意这里的 A⃗\vec A 虽然是参考系 B\mathcal B 中的向量，但是放在绝对空间中其实是可以放在 F\mathcal F 参考系下进行求导的，不同参考系关于时间求导的结果是一样的，只是使用不同的基的求导表述不同而已
        • 不同参考系下唯一的区别是认为自身参考系绝对静止，也就是说 B\mathcal B 参考系虽然在旋转但是 在 B\mathcal B 参考系中对基求导是不变的，简而言之上述公式里面前两项就是对 B\mathcal B 参考系的求导结果，是只包含系数变化率的而不包含基的求导
        • 可以对比一下前面学过的非参考系的向量求导都是要考虑基求导的（以前学的就是这里对于 F\mathcal F 参考系的求导结果）

      • 这个公式的含义是更换计算速度时候的参考系需要额外加上两个参考系之间的转动速度关系

        • 由于参考系的基长度是默认是 1，不同参考系之间求导无法算出参考系之间的平动速度关联

    • 由于上述公式只是对同一向量更换参考系的变换，我们在一般计算的时候还要加上参考系之间的平动速度

      • 公式 vP/F=vO′/F+Br˙O′P+θ˙k^×r⃗O′Pv_{P/\mathcal F} = v_{O'/\mathcal F} + ^{\mathcal B}\dot r_{O'P} + \dot\theta\hat k\times \vec r_{O'P}

      • 我们也可以写作 v⃗P/F=v⃗O′/F+v⃗rel+ω⃗×r⃗O′P\vec v_{P/\mathcal F} = \vec v_{O'/\mathcal F} + \vec v_{rel} + \vec \omega \times \vec r_{O'P}

        • 其中 v⃗rel\vec v_{rel} 表示的是相对速度，也就是 P 相对于 点 O’ (B) 的移动速度

        • 整体公式可以改写为 v⃗P/F=v⃗P/B+v⃗P′/F\vec v_{P/\mathcal F} = \vec v_{P/B} +\vec v_{P'/\mathcal F}

          • 其中 P′P' 表示的是B\mathcal B 参考系中的和参考系方向一样的点（也就是把 O′PO'P 当作是一个刚体来考虑）
          • 这个应用往往是将 P′P' 点设置在和 O’ 同一个刚体上的点

    • 加速度公式

      • 对上述式子直接求导可得 a⃗P/F=Fv⃗˙P/B+a⃗O′/F+θ¨k^×r⃗O′P\vec a_{P/\mathcal F} = ^{\mathcal F}\dot{\vec v}_{P/\mathcal B}+\vec a_{O'/\mathcal F} + \ddot \theta \hat k\times \vec r_{O'P}

        • 注意这里不同参考系的求导是不能直接计算的，必须先用换系公式转换至同一参考系下

      • 导出公式 a⃗P/F=a⃗P/B+a⃗P′/F+2θ˙k^×v⃗P/B\vec a_{P/\mathcal F} = \vec a_{P/\mathcal B} + \vec a_{P'/\mathcal F} + 2\dot\theta \hat k\times \vec v_{P/\mathcal B}

        • 这里我们称 2θ˙k^×v⃗P/B2\dot\theta \hat k \times \vec v_{P/B} 为科里奥利力 Coriolis Force
        • a⃗P′/F=a⃗O′/F+θ¨k^×r⃗O′P−θ˙2r⃗O′P\vec a_{P'/\mathcal F} = \vec a_{O'/\mathcal F} + \ddot \theta \hat k\times \vec r_{O'P} - \dot\theta^2 \vec r_{O'P}
        • 简化写法为 $\vec a_{P/\mathcal F} =\vec a_{rel} + \vec a_{O’} + \vec \alpha \times \vec r_{O’P} - \omega^2\vec r_{O’P} + 2\vec \omega\times \vec v_{rel} $

  • 应用

    • 常见的相对运动效果

        1. collar： 速度、加速度方向都是固定的，必然沿着杆子方向（这里说的加速度是在杆子参考系下）
        1. 单接触点：速度方向必然沿着接触面/线，方向也是可以固定的