1. 坐标系 Frame of Reference

  • 直角坐标系 Cartesian Coordinate

    • 表述法

      • 位置表述 r⃗OP=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec r_{OP} = x\vec i + y\vec j + z \vec k

        • 根据求导公式 d(A⋅B)dt=dAdt⋅B+A⋅dBdt\frac{d(A\cdot B)}{dt} = \frac{dA}{dt}\cdot B + A\cdot \frac{dB}{dt}
        • 直角坐标系单位向量 i⃗,j⃗,k⃗\vec i,\vec j, \vec k 关于时间求导为 0 （不随着时间变化）

      • 获得速度公式 v⃗p=(r⃗OP)˙=x˙i⃗+y˙j⃗+z˙k⃗\vec v_p = \dot{(\vec r_{OP})} = \dot x \vec i + \dot y \vec j + \dot z \vec k

      • 加速度公式 a⃗p=vp⃗˙=x¨i⃗+y¨j⃗+z¨k⃗\vec a_p = \dot{\vec{v_p}} = \ddot x\vec i + \ddot y \vec j + \ddot z\vec k

  • 柱坐标系 Cylindrical Coordinate

    • 位置公式 r⃗OP=re⃗r+zk⃗\vec r_{OP} = r\vec e_r + z\vec k

    • 速度公式 $\vec v_p = (\dot{\vec r_{OP}}) = \dot r \vec e_r + r\dot {\vec e_r} + \dot z\vec k + z\dot{\vec k} $

      • k⃗˙=0\dot{\vec k} = 0 因为直角坐标系单位向量不会随着时间变化

      • e⃗r˙=(cos⁡θi⃗+sin⁡θj⃗)˙=(−sin⁡θi⃗+cos⁡θj⃗)⋅θ˙\dot{\vec e_r } = \dot{(\cos\theta \vec i + \sin\theta\vec j)} = (-\sin\theta \vec i + \cos\theta \vec j)\cdot\dot \theta

        • 首先我们发现这个向量长度为1
        • 同时我们发现 er⃗˙⊥e⃗r\dot{\vec{e_r}} \perp \vec e_r

      • 我们定义这个向量为 e⃗θ\vec e_\theta 即 e⃗r˙=θ˙⋅e⃗θ\dot{\vec e_r} = \dot\theta\cdot \vec e_\theta

      • 速度公式 v⃗p=r˙e⃗r+rθ˙e⃗θ+z˙k⃗\vec v_p = \dot r\vec e_r + r\dot\theta \vec e_\theta +\dot z\vec k

        • 参考坐标是原点，我们整体速度表现为 r 向速度和 转向速度和 k 向速度的矢量和

    • 加速度公式 a⃗p=(v⃗p)˙=r¨e⃗r+r˙e⃗r˙+r˙θ˙e⃗θ+rθ¨e⃗θ+rθ˙e⃗θ˙+z¨k⃗\vec a_p = \dot{(\vec v_p)} = \ddot r \vec e_r + \dot r\dot{\vec e_r } + \dot r \dot \theta \vec e_\theta+ r\ddot \theta{\vec e_\theta} + r\dot \theta\dot{\vec e_\theta }+ \ddot z \vec k

      • e⃗θ˙=(−sin⁡θi⃗+cos⁡θj⃗)˙=(−cos⁡θi⃗−sin⁡θj⃗)θ˙=−e⃗r⋅θ˙\dot{\vec e_\theta} = \dot{(-\sin\theta \vec i + \cos \theta\vec j)} = (-\cos\theta \vec i - \sin\theta \vec j )\dot \theta= - \vec e_r \cdot \dot \theta
      • 加速度公式 a⃗p=(r¨−rθ˙2)e⃗r+(2r˙θ˙+rθ¨)e⃗θ+z¨k⃗\vec a_p = (\ddot r - r\dot\theta^2) \vec e_r+ (2\dot r \dot\theta + r\ddot\theta){\vec e_\theta} + \ddot z \vec k

  • 自然坐标系

    • 位置公式 r⃗OP=r(s)=r[s(t)]\vec r_{OP} = r(s) = r[s(t)]

    • 速度公式 v⃗p=dr⃗OPdt=dr⃗OPdsdsdt\vec v_p = \frac{d\vec r_{OP}}{dt} = \frac{d\vec r_{OP}}{ds}\frac{ds}{dt}

      • d⃗rOPds=e⃗t\frac{\vec dr_{OP}}{ds} = \vec e_t 表示切线方向的单位向量

        • 这其实是等价无穷小比值为 1

      • dsdt=s˙\frac{ds}{dt} = \dot s

      • 速度公式 v⃗p=s˙e⃗t\vec v_p = \dot s \vec e_t

        • 这个公式说明了速度方向始终和path的方向相切

    • 加速度公式 $\vec a_p = \dot{\vec v_p} = \ddot s\vec e_t + \dot s \dot{\vec e_t} $

      • 其中 $\dot{\vec e_t} = \frac{d\vec e_t}{ds}\frac{ds}{dt} $

      • 我们定义 曲率半径为 $\rho $ 则我们有 1ρ=∣de⃗tds∣\frac 1 \rho = |\frac{d\vec e_t}{ds}|

        • 其实我们有一般曲率公式 κ\kappa
        • 定义主法向量公式 1ρe⃗n=de⃗tds\frac 1\rho\vec e_n =\frac{d\vec e_t}{ds}

      • 加速度公式(3D) $\vec a_p = \ddot s \vec e_t + \frac{\dot s^2}{\rho}\vec e_n $