6. 能量

  • 动能公式

    • T=12∫(v⃗⋅v⃗)dmT = \frac 1 2 \int (\vec v \cdot \vec v ) dm

    • 我们借用质心的公式 和速度公式 v⃗P=v⃗C+ωk^×r⃗CP\vec v_P = \vec v_C + \omega \hat k\times \vec r_{CP}

    • 所以表示 P 点公式 v⃗P⋅v⃗P=v⃗C⋅v⃗C+ω2(x2+y2)+2ωv⃗C⋅(xj^−yi^)\vec v_P \cdot \vec v_P = \vec v_C \cdot \vec v_C + \omega ^ 2(x^2 + y^2) + 2\omega\vec v_C \cdot (x\hat j - y\hat i)

    • 接下来我们展开动能公式 T=12∫vC⋅vCdm+ω22∫(x2+y2)dm+ω(v⃗C⋅j^)∫xdm−ω(v⃗C⋅i^)∫ydm=12mvC2+12IzzCω2T = \frac 1 2\int v_C \cdot v_C dm + \frac {\omega^2}{2}\int (x^2+ y^2)dm + \omega(\vec v_C\cdot \hat j)\int xdm - \omega(\vec v_C\cdot \hat i)\int ydm = \frac 1 2 m v_C^2 + \frac 1 2 I_{zz}^C\omega ^2

      • 对于质心而言 ∫xdm=∫ydm=0\int x dm = \int y dm= 0

    • 导出公式 T=12mvC2+12ICω2T = \frac 1 2 m v_C^2 + \frac 1 2 I_C\omega^2

  • 瞬心思路

    • 在质心点 SS 我们有 $T = \frac 1 2 I_S\omega ^2 = \frac 1 2 (I_C + md^2) \omega^2 $

      • 也就是从瞬心看，质心处只有转动速度而没有平动速度

  • 功率

    • 将能量对时间求导得到 dTdt=ddt(12mv⃗C⋅v⃗C+12ICωk^⋅ωk^)=ΣF⃗⋅v⃗C+ΣM⃗C⋅ωk^\frac{dT}{dt} = \frac d {dt}(\frac 1 2 m\vec v_C\cdot \vec v_C + \frac 1 2 I_C \omega \hat k\cdot \omega \hat k) = \Sigma\vec F\cdot \vec v_C + \Sigma\vec M_C \cdot \omega\hat k

    • 那么我们接着对力矩进行拆解，ΣMC=Σri×Fi+ΣCj\Sigma M_C = \Sigma r_i\times F_i + \Sigma C_j （CjC_j 表示力偶）

    • 整理表达式我们得到 T˙=(F1+⋯ )⋅v⃗C+ωk^⋅(r1×F1+⋯ )+(C1+⋯ )⋅ωk^\dot T = (F_1 + \cdots)\cdot \vec v_C + \omega \hat k\cdot(r_1 \times F_1 + \cdots ) + (C_1 + \cdots)\cdot \omega \hat k

      • 为了处理这个 ωk^⋅r⃗1×F⃗1\omega \hat k\cdot \vec r_1 \times \vec F_1 我们又要用到三重积公式，即 a⃗⋅(⃗b×c⃗)=(a⃗×b⃗)⋅c⃗\vec a \cdot \vec (b\times \vec c) = (\vec a\times \vec b)\cdot \vec c

        • 证明： 可以写成行列式形式，左右形式第一第三行相反，放到行列式里数值恰好相等

      • 整理好之后我们中间那项可以写作 (ωk^×r⃗1)⋅F⃗1(\omega \hat k \times \vec r_1) \cdot \vec F_1 ，就可以和前一项进行合并

    • 功率公式 dTdt=ΣF⃗i⋅v⃗i+(ΣC⃗i)⋅ωk^\frac {dT}{dt} = \Sigma \vec F_i \cdot \vec v_i + (\Sigma\vec C_i)\cdot \omega \hat k

      • 外力做功功率 P⃗F=ΣF⃗i⋅v⃗i\vec P_F = \Sigma \vec F_i \cdot \vec v_i
      • 力矩做功功率 P⃗C=ΣC⃗i⋅ωk^\vec P_C = \Sigma \vec C_i \cdot \omega \hat k

    • 动能定理 ∫t1t2Pdt=T(t2)−T(t1)=T2−T1\int _{t_1}^{t_2} P dt = T(t_2) - T(t_1) = T_2 - T_1

      • 或者 ΔT=[12mvC2+12ICω2]t1t2\Delta T = [\frac 1 2 mv_C^2 + \frac 1 2 I_C\omega^2]_{t_1}^{t_2}
      • 力偶做功 W=∫θ1θ2CdθW = \int _{\theta_1}^{\theta_2} Cd\theta
      • 这一点十分依赖于 物体是刚体 ???

  • 常见的逻辑谬误

    • 在一个 pin 的两端的连接体，当两个物体发生相对转动，如果
    • a) 摩擦力可忽略：外力做功 = 动能变化
    • b) 不可忽略，两者速度不同 => 动能变化 \not= 外力做功
    • 纯滚动摩擦力不做功
    • 支持力不做功（无论水平地面还是曲线型地面）

  • 弹簧活动做功

    • 对于一个弹簧进行运动，其向两端的施加的功是 W=k2(δ12−δ22)W =\frac k 2 (\delta_1^2 - \delta _2^2)

  • 静摩擦的能量公式

    • 静摩擦在地面不动的情况下，对物体并不会做功，但是它能帮物体的平动能量转化为转动能量

      • 我们可以观察接触点，其速度为 0，因此我们计算其功率为 P=Fv=0P = Fv = 0