240 复习

  • 向量转换系

    • AQ˙=BQ˙+ωB/A×Q^A\dot Q = ^B \dot Q + \omega_{B/A}\times Q

    • 角速度转换公式 ωD/A=ωD/B+ωB/A\omega_{D/A}= \omega_{D/B} + \omega _{B/A}

      • ωB/A=−ωA/B\omega_{B/A} = -\omega_{A/B}
      • Aω˙B/A=Bω˙B/A^A\dot\omega_{B/A} = ^B\dot \omega_{B/A}

    • 角加速度转换公式 αC/A=αC/B+αB/A+ωB/A×ωC/B\alpha_{C/A} = \alpha _{C/B} + \alpha _{B/A} + \omega _{B/A}\times \omega_{C/B}

      • 我们称 $\omega_{B/A} \times \omega_{C/B} $ 为 gyroscopic 量,在平面运动的时候会消失

      • 加速度关系 aP/F=aP/B+aO′/F+αB/F×rO′P+ωB/F×(ωB/F×rO′P)+2ωB/F×vP/Ba_{P/F} = a_{P/B} + a_{O'/F} + \alpha _{B/F}\times r_{O'P} + \omega_{B/F}\times (\omega_{B/F}\times r_{O'P}) + 2\omega_{B/F}\times v_{P/B}

        • 别的点的加速度互推 aP=aO′+α×rO′P+ω×(ω×r)a_{P} = a_{O'} + \alpha \times r_{O'P} + \omega \times (\omega \times r)

  • 角动量公式

    • HP=∫r⃗×v⃗dmH_P = \int \vec r \times \vec v dm

    • 通过演化得到 H⃗P=mr⃗PC×v⃗P+(IxxCωx+IxyCωy+IxzCωz)i^+(IxyCωx+IyyCωy+IyzCωz)j^+(IxzCωx+IyzCωy+IzzCωz)k^\vec H_P = m\vec r_{PC}\times \vec v_{P} + (I_{xx}^C\omega_x + I_{xy}^C \omega_y + I_{xz}^C\omega_z )\hat i + (I_{xy}^C\omega_x + I_{yy}^C \omega_y + I_{yz}^C\omega_z )\hat j + (I_{xz}^C\omega_x + I_{yz}^C \omega_y + I_{zz}^C\omega_z )\hat k

    • 平行轴定理: IxxI_{xx} 等对角元素的内容是 +md2+md^2

      • 前提是从质心出发

    • 转动惯量变换坐标系

      • M:=[va,vb,vc]M := [v_a,v_b,v_c] 表示一个旋转矩阵,以围绕 xOyxOy 平面进行旋转为例,我们的转动矩阵是 [cos⁡αsin⁡α0−sin⁡αcos⁡α0001]\begin{bmatrix}\cos\alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin\alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

      • 旋转矩阵有性质 MT=M−1M^T = M^{-1}, 也就是说, 对于新的物体的主轴和旋转轴(这里假设旋转轴经过质心,那么我们的计算方式是 $ $ I′=MTIMI' = M^TIM

        • 这里的 $I’ $ 是主轴, II 是实际转动的轴的转动惯量
        • 所以我们一般有的是 I′I', 需要求解的是 II 所以我们会导出公式 I=(MT)−1I′M−1I = (M^T)^{-1}I'M^{-1}

      • 常用导出公式 I=MI′MTI = MI'M^T

        • 注意这里的MM 表示的是从转动轴转动到主轴转过的角度, 逆时针为正, 顺时针为负

      • 常见的对称物体的转动惯量

        • 立方体体对角线的转动惯量 I=ms26I = \frac{ms^2}{6}

  • 空间运动的牛顿第二定律

    • 研究对象: H˙C=(IxxCω˙x++IxyCω˙y+IxzCω˙z)i^+(IxyCω˙x++IyyCω˙y+IyzCω˙z)j^+(IxzCω˙x++IyzCω˙y+IzzCω˙z)k^\dot H_C = (I_{xx}^C\dot\omega_x + +I_{xy}^C\dot\omega_y + I_{xz}^C\dot\omega_z)\hat i + (I_{xy}^C\dot\omega_x + +I_{yy}^C\dot\omega_y + I_{yz}^C\dot\omega_z)\hat j + (I_{xz}^C\dot\omega_x + +I_{yz}^C\dot\omega_y + I_{zz}^C\dot\omega_z)\hat k

    • 但是从前面的公式推导得到 ∑MC=FH˙C\sum M_C = ^F\dot H_C ,我们使用换坐标系的公式会得到 BH˙C+ω⃗B/F×H⃗C^B\dot H_C + \vec \omega_{B/F}\times \vec H_C

      • 如果使用 向量叉乘 来进行表示, 结果会十分臃肿
      • 所以我们需要用不同情况进行分类

    • 欧拉方程

      • ∑MCx=IxxCω˙x−(IyyC−IzzC)ωyωz∑MCy=IyyCω˙y−(IzzC−IxxC)ωxωz∑MCz=IzzCω˙z−(IxxC−IyyC)ωxωy\sum M_{Cx} = I_{xx}^C\dot \omega_x - (I_{yy}^C - I_{zz}^C)\omega_y \omega_z\\\sum M_{Cy} = I_{yy}^C\dot \omega_y - (I_{zz}^C - I_{xx}^C)\omega_x \omega_z\\\sum M_{Cz} = I_{zz}^C\dot \omega_z - (I_{xx}^C - I_{yy}^C)\omega_x \omega_y

        • 前提: 转动惯量用的是主轴
        • 所以对于非主轴旋转,我们需要使用的是主轴的基坐标描述旋转向量

  • 动能动量定理

    • H⃗P=H⃗C+r⃗PC×mv⃗C\vec H_P =\vec H_C + \vec r_{PC}\times m\vec v_C

    • 转动动能 Tω=12ω⃗⋅H⃗CT_\omega = \frac 1 2 \vec\omega \cdot \vec H_C

      • 这里使用 HSH_S 也可以,但是这时候就不用考虑平动动能

  • 微分方程的解

    • 简谐振动

      • y¨+kmy=0\ddot y + \frac k m y = 0
      • 令 ωn=k/m\omega_n = \sqrt{k / m} ,我们写作 y¨+ωn2y=0\ddot y + \omega_n^2 y = 0
      • 解集 y=Asin⁡ωnt+Bcos⁡ωnty = A \sin \omega_n t + B\cos \omega_n t
      • 通过带入初始条件数据进行解算

    • 阻尼振动

      • my¨+cy˙+ky=0m\ddot y + c\dot y + ky = 0

      • 解集 mr2+cr+k=0mr^2 + cr + k = 0 称之为 characteristic equation, 这个方程有两个根 r1,r2r_1,r_2

          1. (c2m)2>km(\frac{c}{2m})^2 > \frac k m 过阻尼
          • y=A1er1t+A2er2ty = A_1 e^{r_1 t} + A_2 e^{r_2 t}
          1. (c2m)2=km(\frac{c}{2m})^2 = \frac k m 临界阻尼
          • y=A1e−ωnt+A2te−ωnty = A_1 e^{-\omega_n t}+ A_2 t e^{-\omega_n t}
          1. (c2m)2<km(\frac{c}{2m})^2 < \frac k m 欠阻尼
          • y=eλt(A1sin⁡μt+A2cos⁡μt)y = e^{\lambda t}(A_1 \sin\mu t + A_2 \cos \mu t)
          • r1,2=λ±μir_{1,2} = \lambda \pm \mu i
          • λ=−c2m,μ=km−(c2m)2\lambda = -\frac{c}{2m}, \mu = \sqrt{\frac k m - (\frac{c}{2m})^2}

        • 都是通过带入具体初始条件进行求解

    • 受迫振动

      • $m\ddot x + c\dot x + kx = P\sin \omega t $

      • 通解 x=xc+Xsin⁡(ωt−ϕ)x = x_c + X\sin (\omega t - \phi)

        • X=P/k(1−ω2ωn2)2+(2ξ(ωωn))2X = \frac{P/k}{\sqrt{(1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2})^2 + (2\xi(\frac{\omega}{\omega_n}))^2}}

        • tan⁡ϕ=2ξ(ωωn)1−ω2ωn2\tan \phi = \frac{2\xi(\frac{\omega}{\omega_n})}{1 - \frac{\omega^2}{\omega_n^2}}

        • ξ=cccrit\xi = \frac{c}{c_{crit}}

        • ccrit=4mkc_{crit} = \sqrt{4mk}

        • 共振频率 resonance: X=P2ξkX = \frac{P}{2\xi k}

          • 当且仅当 ξ→0\xi \to 0 的时候会出现趋于无穷的振幅