2. 动力学欧拉方法

欧拉第一定律
- 欧拉第一定律是牛顿第二定律的离散粒子集合情况的表达
- 公式 $\Sigma_i F_i = \Sigma m_i a_i$
  - 如果是连续的物体我们可以写作 $\Sigma F = \int a\ dm$
  - 离散情况代表空气等流体也符合欧拉的描述，当然一般刚体也满足欧拉方法
  - 这种情况下 $F$ 只考虑外力，内力由于矢量相互作用等大反向可以抵消
- 质心
  - $\vec r_{OC} = \frac{\Sigma m_i R_i}{m}$ , $m = \Sigma m_i$
- 这下我们可以用位移的二阶导表达加速度： $\Sigma F = m \frac{d^2\vec r_{OC}}{dt^2} = m \vec a_C$
  - 也就是说，加速度可以只考虑质心点处的加速度
欧拉第二定律
- 背景也是散点情况
- 动量公式 $\vec L = \Sigma m_i \vec v_i $
- 用质心考虑，我们有等式 $\vec L = m\vec v_C$
  - 只需要对 $m\vec r_{OC} = \Sigma m_i \vec r_i$ 两边求导就好
  - 这里的case 是任意物体，不一定是刚体，可以为 deformable body
  - 虽然 deformable body 的质心不是确定的，但是这个公式的唯一原因是对位移公式进行求导，所以对瞬时条件存在确定质心，与是否 rigid 没有确定关系
- 用第二定律公式表述第一定律 $\Sigma \vec F = \frac{d\vec L}{dt}$
- 那么将动量转变为转动情况就有了角动量，那么我们就需要计算角动量和引起角动量变化的量——力矩 Moment
  - 力矩公式 $\vec M_P = \Sigma\vec r_i\times \vec a_i m_i$
    - 参考点是任意点 $P$
  - 角动量公式 $\vec H_P = \Sigma \vec r_i \times m_i \vec v_i$
- 但是只有当P满足为定点O 或者质心C 的时候，我们才有等式 $\Sigma M = \frac{d\vec H}{dt}$
  - 证明如下：
冲量公式
- 火箭喷射模型
- 一维小球碰撞问题
  - 恢复系数 $e = \frac{v_{Bf} - v_{Af}}{v_{Ai} - v_{Bi}}$
    - 在 f 能量小于等于初始状态能量的时候， $e\in [0,1]$
    - 在 $e=1$ 的时候为无能量损失情况
    - 在 $e = 0$ 的时候为完全非弹性碰撞
- 角动量守恒问题
  - 力矩的作用会导致角动量的变化
  - $H(t_2) - H(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} M(t)dt$
做功问题
- 对于粒子，做功方程 $\int_{t_1}^{t_2} (\Sigma F)\cdot \vec v dt = \int_{t_1}^{t_2} m\cdot \vec a_C(t)\cdot \vec v_C(t)dt = \frac m 2[|v(t_2)|^2 - |v(t_1)|^2]$
  - 这就是动能方程
  - 左式也可以写作 $\vec F[\vec r(t_2) - \vec r(t_1)] $
- 如果受力是和位移相关的，那么我们也可以改写为 $\int_{t_1}^{t_2} (\Sigma \vec F)dr$
  - 例如弹簧 $f(r ) = k(r - L_0)$ 我们改写为关于时间的函数 $\delta(t) = r(t) - L_0$
  - 那么做功函数为 $W = -\int_{r(t_1)}^{r(t_2)} k(r - L_0) dr = -\frac k 2[\delta(t_2)^2 - \delta(t_1)^2]$
  - 像这种做功只和位移相关，和路径无关的力我们称为保守力
    - 保守力我们一般用 $\phi$ 来表示
- 净做功 $W = \Sigma W_i$
  - 常用于表示复杂粒子集合的外力总做功
  - 对于刚体则只有外力做功（这门课都是刚体）