8. 平方可积函数空间 Space of Square Integrable Function

函数线性空间定义
- 如何定义一个函数？
  - 最好的答案是用一个级数去收敛，对于一个任意有界函数， $v = \lim _{N\to \infty}\Sigma_{n=0}^N\lambda_n u_n$
- 定义收敛，那么就要定义 norm
  - 也就是我们要有 $||v -\Sigma_{n=0}^\infty \lambda_n u_n || \to 0$
  - 函数的 norm 通过内积定义 $\langle f,f\rangle = ||f||$
    - 现在的证明问题已经变成了 $\lang f,f\rang=0$ 如何推导出 $f=0$ 呢
  - 但是内积的定义 $\lang f,g\rang = \int_a^b \bar f g dx, f,g\in C([a,b])$
- 定义连续函数 $f$ 满足 $||f||_2 = \sqrt{\int_a^b |f(x)|^2dx}, f\in C([a,b])$
  - 当然我们还有其他常用的 norm
    - $||f||_1 = \int_a^b f dx$
    - $||f||_\infty = \sup_{[a,b]} |f|$
  - converge uniformly 一致收敛 $||f_n||\to 0$
  - mean $||f_n||_1\to 0$
  - mean square $||f_n||_2\to 0$
- 柯西函数序列一定收敛于 $C([0,1])$ 吗？经过火色特的精密证明，答案是否定的
- 完备空间 complete space
  - 空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内
- 定义： $L^2([a,b])$ 表示在 $C([a,b])$ 空间内对 $||\cdot||_2$ 算符的 completion
  - 也就是把上述的不满足的柯西序列排除出去
  - 或者说 $L^2([a,b])$ 表示包含所有的作为柯西序列的收敛目标的函数
  - 数学表达 $u\in L^2([a,b])\Rightarrow \exist u_n, s.t. \lim_{n\to\infty}||u_n - u||_2\to 0$
    - 前提是都是连续有界函数
- 几乎全0函数: 只在某几个点不为 0 的函数，也就是不能写作 $f = 0$
- 少于 $\epsilon$ 度量：对于 $\epsilon > 0$ , 存在有限/无限个区间 $\{I_k\}$ 满足 $\Omega\subset \cup I_k$ 且总长度少于 $\epsilon$
- 0 度量：对于 $\forall \epsilon > 0$ 集合 $\Omega$ 长度小于 $\epsilon$
  - 有理数集合就是 0 度量
  - 0 度量的子集一定是 0 度量
  - 狄利克雷函数 Dirichlet Function $\mathcal X: [0,1]\to \R, \mathcal X(x) =\begin{cases}1, x\in \mathbb Q\\0, x\not\in \mathbb Q\end{cases}$ 是一个 0 度量
  - 勒贝格积分 Lebesgue Integral: $\int_0^1 \mathcal X(x)dx = 0$
    - 也就是说 0 度量的积分是 0
    - 这里用的技术是黎曼积分 Riemann integral
- 等价函数：对于总共有 0 度量的空间是不同的函数，认为二者相同
- 贝塞尔不等式 Bessel Inequality: