11. 可分离的偏微分方程 PDE

受张力的绳 suspended chain
- 首先位移函数是一个双变量函数 $u(x,t)$
  - 考虑二维平面，具有时间属性
- 我们假定 $u_t$ 表示对 $t$ 求导结果，同理 $u_{tt}$ 表示对时间求二阶导的结果
- 微分方程等式 $u_{tt} = c^2\cdot u_{xx}$ , $c^2 = \frac{F_{ten}}{\rho}$
  - $F_{ten}$ 表示的是绳子内部的张力，假设绳子静止（time-independent）且绳子重力效果不大
  - $\rho$ 表示绳子密度
  - 为了细化公式，定义 $F_{gen} = \rho gx$
- 由于绳子的两端固定，这就是经典的 BVP 边界问题
分离思路
- $u(x,t) = X(x)\cdot T(t)$ 来获得两个单变量方程的积
- 我们要证明这个分离是存在且唯一的
- 回到上面的 suspended chain 例子
  - $u(x,t) = X(x)T(t)$
  - 利用基本等式 $u_{tt} = c^2 u_{xx}\Rightarrow XT'' = c^2X''T$
  - 这下就是可分离变量了，我们写成等式 $\frac{1}{c^2T}T'' = \frac 1 X X''$
    - 由于两边变量不同，那么两边就是常数，令之为 $-\lambda$
    - 这下就有两个特征方程
  - 同时由于两端固定，我们有等式 $\begin{cases}X(0)T(0)=0\\X(l)T(0)=0\end{cases}$
    - 从这个可以看出要么 $T(t) =0$ 恒定，或者看出 $X$ 在两端为 0
    - 于是就有 $X'' + \lambda X = 0, X(l) = X(0) = 0$
  - 特征值解为 $\lambda_n = (\frac{n\pi}{l})^2$
  - 采用上一讲的 SL 试根得到解集 $X_n = C_n\sin(\sqrt{\lambda_n}x) = C_n\sin(\frac{n\pi x}{l})$
    - 一般这个时候我们有边界问题进行约束，没有的话解集就是上式
    - 同理 $T _n = D_n\cos\frac{cn\pi t}l +E_n\sin\frac{cn\pi t}l$
  - 总的结果是 $u= \Sigma_{n=1}^\infty (F_n\cos\frac{cn\pi t}{l}+G_n\sin\frac{cn\pi t}l)\sin\frac{n\pi x}{l}$
    - 边界问题 $u(x,0) = \Sigma F_n\sin\frac{n\pi x}{l}$ , $u_t (x,0)=\Sigma G_n\frac{cn\pi}{l}\sin\frac{n\pi x}l$
    - 这里需要将这个 $F_n,G_n$ 变成傅里叶级数会更好分析一点
    - $f(x) = u(x,0) = \frac 2 l \int_0^l f(x)\sin(\frac{n\pi x}l)dx\cdot \sin(\frac{n\pi x}l)$
      - 这下中间部分就是 $F_n$ 了，后面不要忘记 × $\sin$
      - 注意最终结果是回到 $u$ 本身，也就是上面加粗处
- 唯一解定理：对于形如 $u_{tt} -c^2u_{xx} = F(x,t)$ ,拥有两个边界问题 $u(0,t) = a(t),u(l.t)=b(t)$ 和初始条件 $u(x,0)=f(x),u_t(x,0)= g(x)$
第一类贝塞尔方程的解系