7. 级数法求解微分方程 Power Series Solutions

二阶变系数齐次 ODE 的通式 $Px''+Qx'+Rx = 0$
- 首先通过令 $P \not = 0$ 同时除以 $P$ 得到 $x'' + px' +qx = 0$
- 级数收敛定理
  - 对于函数 p,q 通过级数展开，拥有收敛半径 $\rho _1, \rho_2$ ，则解集 $x$ 也拥有大于等于 $\min(\rho_1,\rho_2)$ 的级数展开
  - 也就是说，取两个收敛的min以内的部分的 t 一定满足收敛，即可以展开
  - 或者说，通过级数收敛得到的答案大概在 $(-\rho_{min}, +\rho_{min})$ 区间上是可以展开的，外部就会 $\to \infty$
    - 这里说的是至少，也就是说并不是在 $\rho_{min}$ 处就会立即发散
欧拉公式 Euler’s Equation
- 定义： $t^2x''+\alpha tx'+\beta x = 0$
- 奇点位置 0，我们主要看 $t>0$ 的部分，令 $x =t^r$
- 得到等式 $r = -\frac{\alpha -1 }{2}\pm \frac 12\sqrt{(\alpha - 1)^2-4\beta}$ , 一个很眼熟的二次方程的解
  - $\Delta > 0$ 我们有 $x = c_1 t^{r_1} +c_2 t^{r_2}$
  - $\Delta = 0$ 我们通过 reduction of ratio 得到一个 $x_2 = t^{r_1} \ln t$
奇点 Singular Points
- $x'' + p(t) x' +q(t) = 0$ , 其中 $p,q$ 是复数平面的函数
- 定义：如果 p,q 在 $t_0$ 附近可分析（有限），则称这个点为 ordinary point，反之为 singular point
- regular：对于奇点，令 p 在 $t_0$ 有一个pole 且对 $t_0$ 重数不超过 1， q 在 $t_0$ 有一个pole 且重数不超过 2，则称这个点为 regular；反之为 irregular
- Frobenius ansatz: 对于一般的 $x’’ + px’ +qx = 0 $ 我们变换为欧拉形式 $t^2 x'' + t(tp(t))\cdot x' +t^2 q(t)\cdot x = 0$
  - 这样我们得到试根为 $x(t) = t^r\Sigma a_kt ^k$
  - 首先将试根带回原方程得到 $F(x):= x(x-1)+p_0x + q_0$ , 其中 $p_0$ 表示的是 $p(t)$ 的泰勒展开的第一项，也就是 $p(t_0)$ ， q 同理
    - 这其实是一个等式 $F(x) = 0$
    - 这是一个二次方程，但是在这里我们只考虑一个根
  - 再通过爆算得到等式 $ ((r+ m )(r+m-1)+q_0+(r+m)p_0)a_m+\Sigma_{k=0}^{m-1}(q_{m-k}+(r+k)p_{m-k})a_k$
  - 那么我们对 $F(x) $ 在 $r$ 附近展开，得到 indicial equation $F(r) = 0, a_mF(r+m) = -\Sigma_{k=0}^{m-1}(q_{m-k}+(r+k)p_{m-k})a_k$
- 第一类贝塞尔方程 $J_v$ Bessel Function of First Kind
  - $t^2x'' + tx'+(t^2-v^2)x = 0$
  - 在 $t = 0$ 处得到 $x(t) = 0$
- 贝塞尔方程的根
  - 令 $t\to \infty$ , 则有 $w = \sqrt t x$ , 那么我们有等式 $w'' + w' + \frac 1{x^2}(\frac 1 4 - v^2)w = 0$ 成立, 其中 $w\to 0$ 在 $t\to \infty$ 时候成立，那么这个结果就变成了一个类似一阶振动的微分方程，也就是说解 $x \approx c \cdot \cos (\omega t)$
  - 那么也就是说第一类贝塞尔方程具有无数的解，且在 $t\to \infty$ 的时候根的间距大概为 $\pi$