ode_boundary_case

10. ODE 的边界问题

• Sturm-Liouville 问题

  • $L:=-\frac{1}{r(x)}(\frac{d}{dx}(p(x)\frac{d}{dx})+q(x))$

  • 在平方可积函数空间里面，可以使用线性算符进行特征值计算 $Lu =\lambda u$

  • 常用形式 $L =a_2 \frac{d^2}{dx^2} + a_1 \frac{d}{dx} + a_0$

    • 结论 $p = e^{\int\frac{a_1}{a_2}}$, $r = -\frac{p}{a_2}$, $q = -a_0r$
    • 也就是说 SL 方程适合用来解决二阶线性方程

  • regular 的条件

    • $I$ 是一个有限区间

    • $p,p',q,r$ 连续

    • $p>0,r>0$ 恒成立

      • 也就是说没有singular point

  • 方程形式 $\frac{d}{dx}(p(x)\frac{du}{dx})+(q(x)+\lambda r(x))u = 0$

    • 边界问题 $B_au := \alpha_1 u(a)+\beta_1u'(a) = 0$

    • $B_b u := \alpha_2u(b)+\beta_2 u'(b) = 0$

      • 要求 $\alpha_1,\beta_1$ 不同时为 0，$\alpha_2,\beta_2$ 也是如此

    • 两个$B$ 称为边界算符

  • SL 方程的解集具有 特征值 $\lambda$ 和 特征函数 $u_\lambda$

  • SL 特征方程谱定理

    • 对于特征值方程 $Lu = \lambda u$ 至少有一个特征值，且

      • 所有 $L$ 的特征值是正的
      • 存在无数个特征值序列，且可以排列成递增至 无穷的形式
      • $L$ 的特征函数有一组正交基在空间 $L^2$ 上

  • SL 试根 $y_\lambda = e^{\rho(\lambda)x}$ 对于不同的 $\lambda$ 具有不同的解