4. 拉普拉斯变换 Laplace Transform

  • Heaviside 算符

    • 假设我们存在一个求导算符 DD 使得 f′=Dff' = Df, 那么很多求导情况就可以通过这个 heaviside 算符做线性运算解决

    • 但是我们首先得确定这个算符的可行性

    • 由于是线性运算，我们可以定义矩阵和变基来将一个映射 ff 变为可以加 DD 的情况

      • f→{f}f \to \{f\} , D{f}={f′}D\{f\} = \{f'\}

      • 要求{f}\{f\} 是线性: ${\alpha f +\beta g}§ = \alpha {f}§ + \beta {f} § $ 对 ∀p\forall p 成立

      • 要求 D{f}(p)={f′}(p)+f(0)D\{f\}(p) = \{f'\}(p)+f(0) 对 ∀p\forall p 成立

        • 代入 D{1}(p)={0}(p)+1=1D\{1\}(p) = \{0\}(p) + 1 = 1 ，这里 f(t)=1f(t) = 1
        • 代入 Dn{tnn!}(p)={1}(p)D^{n} \{\frac{t^n}{n!}\}(p) = \{1\}(p) , 这里 f(t)=tnn!f(t) = \frac{t^n}{n!}
        • 令 D{f}(p)=p⋅{f}(p)D\{f\}(p) = p\cdot \{f\}(p) , 注意这里的 p⋅p\cdot 是矢量点乘 （这个是一个假设，而且满足前面两个要求）
        • 得到等式 pn+1⋅{tnn!}(p)=1p^{n+1}\cdot \{\frac{t^n}{n!}\}(p) = 1

      • 对于解析函数 f:{f}(p)={Σn=0∞f(n)(0)tnn!}(p)=Σn=0∞f(n)(0){tnn!}(p)f: \{f\}(p) = \{\Sigma_{n = 0}^\infty f^{(n)}(0)\frac{t^n}{n!}\}(p) = \Sigma_{n = 0} ^\infty f^{(n)}(0)\{\frac{t^n}{n!}\}(p)

        • 这个展开用的是麦克劳林

        • 我们得到了等式 {f}(p)=1pΣn=0∞f(n)(0)pn\{f\}(p) = \frac{1}{p} \Sigma_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{p^n}

        • 利用欧拉gamma函数 Γ(t)=∫o∞zt−1e−zdz\Gamma(t) = \int_o^\infty z^{t-1}e^{-z}dz, Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1) = n!

        • 因此我们得到了展开式 {f}(p)=1pΣ1n!Γ(n+1)f(n)(0)pn=∫0∞f(z)e−pzdz\{f\}(p) = \frac 1 p \Sigma \frac 1 {n!}\Gamma(n+1) \frac{f^{(n)}(0)}{p^n} = \int_0^\infty f(z)e^{-pz} dz

          • 注意区分 {f}\{f\} 和 ff

    • {f}(p):=∫0∞f(z)e−pzdz\{f\}(p) := \int_0^\infty f(z)e^{-pz}dz 变换公式

      • 验证 {f′}=−f(0)+p⋅{f}\{f'\} = -f(0)+p\cdot \{f\}

  • 拉普拉斯变换 Laplace Transform

    • 单向拉普拉斯变换定义： f:[0,∞)→Rf:[0,\infty) \to \R 可积，且 sup⁡e−βt∣f(t)∣<∞\sup e^{-\beta t}|f(t)|< \infty 对某些 β≥0\beta\ge 0 则我们有拉普拉斯变换 F(β,∞)→R,F(p):=(Lf)⁡(p):=∫0∞e−ptf(t)dtF(\beta,\infty)\to \R, F(p):=\operatorname{(\mathcal Lf)}(p) :=\int_0^\infty e^{-pt}f(t)dt

      • 注意这里的 L(f)={f}\mathcal L (f) =\{f\}, (Lf)=D{f}(\mathcal L f) = D\{f\}
      • 拉普拉斯的作用对象都是函数

    • 性质：（根据推导过程罗列）

      • (Lf)=L(f′)+f(0)(\mathcal L f) = \mathcal L(f')+f(0)
      • L(f)(p)=p⋅(Lf)(p)\mathcal L(f)(p) = p\cdot (\mathcal L f)(p)
      • f(t)=k(constant)⇒(Lf)(p)=kpf(t) = k (constant)\Rightarrow (\mathcal L f)(p) = \frac k p

    • 作用：拉普拉斯变换相当于把原有的函数变成了一个可以通过 heaviside 算符工作的新函数，便于求最终的结果

      • 同时这个函数的变量从原来的 t 变成了 p
      • 我们理论上就是要通过变换再变回去，得到原空间下的导函数结论
      • 得到的结果是 f(0)=0f(0) = 0 的微方特解

    • 反推常见

      • L(e−(⋅)α)(p)=1p+α\mathcal L(e^{-(\cdot)\alpha})(p) = \frac 1 {p+\alpha}

      • 对于 g(t)=eatf(t)g(t) = e^{at} f(t), 我们有等式 (L)g(p)=(Lf)(p−a)(\mathcal L) g(p) = (\mathcal L f)(p-a)

        • 对 (L−1F)=f(\mathcal L^{-1} F) = f, 我们有 (L−1F(⋅−a))=eatf(\mathcal L^{-1}F(\cdot -a)) = e^{at} f
        • 那么我们可以建一个对应关系互推表

    • 求导等式 (Lg(n))=pn(Lg)(p)−pn−1g(0)−⋯−g(n−1)(0)(\mathcal L g^{(n)} )= p^n(\mathcal L g)(p) - p^{n-1}g(0) - \cdots -g^{(n-1)}(0)

      • 一阶 (Lg)(p)=p(Lg)(p)−g(0)(\mathcal L g) (p) = p(\mathcal L g)(p) - g(0)
      • 二阶 (Lg(2))=p2(Lg)−pg(0)−g′(0)(\mathcal L g^{(2)} )= p^2(\mathcal L g) - pg(0) - g'(0)

    • 双向拉普拉斯变换 $\mathcal L f = \tilde \mathcal L(Hf) $

      • (L~f):=∫−∞+∞f(t)e−ptdt(\tilde \mathcal L f):= \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-pt}dt

  • 解析函数的逆拉普拉斯变换

    • Bromwich 围道

      • 半圆的左半，右侧为 Re=βRe = \beta 的竖直线

      • (MF)(t)=12πi∫CeptF(p)dp(\mathcal MF)(t) = \frac 1 {2\pi i}\int_{\mathcal C}e^{pt}F(p)dp

      • 通过 jordan 大圆弧引理我们可以将这个等价于 12πi∫β−i∞β+i∞eptF(p)dp\frac 1 {2\pi i}\int_{\beta - i\infty}^{\beta + i \infty} e^{pt} F(p)dp

      • 通过留数定理化简右侧的公式得到 ΣrespeptF(p)\Sigma res_p e^{pt}F(p)

        • 很好我们把 2πi2\pi i 消去了
        • 这个 t具有正负可能，正 tt 表明逆时针， 负 tt 表明顺时针

    • 梅林逆映射公式

      • 对于在 (0,+∞)(0,+\infty)上连续可导的函数ff, f(s)=[M(Lf)](s)f(s) = [\mathcal M(\mathcal L f)](s)

    • 变系数线性微分方程