holomorphism

2. 全纯函数的性质 properties of holomorphic functions

• 古尔萨定理 Goursat’s Theorem

  • 对于开区间上全纯函数 $f$ 存在开区间内部的一个三角形 $T$ 使得 $\operatorname{\oint_T f(z)dz = 0}$

    • 注意我们朴素的理解全纯函数，就认为可导就好了
    • 没理解！

  • 推论：矩形 $R$ 积分为 0

• 圆盘积分定理

  • 全纯函数在一个开圆盘中有原函数

• 柯西积分定理 Cauchy’s Theorem

  • 函数 $f$ 是一个圆盘内的全纯函数，则有 $\oint_\mathcal{C} f(z)dz = 0$ 对任意圆盘内闭合曲线都成立

  • 推论：对开集内包含的一个圆 $C$ 且分析其内部，则有 $\oint_C f(z)dz = 0$

    • 这个区别在于我们要找到一个 closed 圆盘 被包含在中间，所以我们要用数学语言表述在一个开区间内部包含了一个closed圆

  • 这一切的前提都是圆内部没有 洞（例如分数分母为0）

  • 约旦引理 Jordan’s Lemma

    • 产生原因：经常会出现 积分半圆 的情况

    • 定义：对于 $R_0 > 0$, 我们有全纯函数 $g: \mathbb{C}/\ B_{R_0}(0)\to \mathbb{C}$, 定义等式 $f(z) = e^{iaz}g(z), \ a>0$，同时定义 $C_R = \{z\in \mathbb{C}: z = R\cdot e^{i\theta}, 0\le\theta \le \pi\}$ 是一个部分半圆，在上半平面。假定 $\sup_{0\le \theta\le \pi}|g(Re^{i\theta})|\xrightarrow{R\to \infty} 0$ , 则有 $\lim_{R\to \infty}\int_{C_R} f(z)dz = 0$

    • 复平面圆的积分公式：$I_{C_R} = \int_{\theta_1}^{\theta_2} f(Re^{it})iRe^{it}dt$

      • 绕过三角函数表示法，香的不行

• 柯西积分定理 Cauchy Integral Formulas

  • 定义：对全纯函数 $f$ 如果有开圆盘 $D$ 满足 $\bar D \subset \Omega$ 则我们有等式 $f(z) = \frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(\xi)}{\xi - z}d\xi$ 对任意 $D$ 上 $z$ 均成立，则我们有等式

    • $z$ 是挖孔的圆心向量，如下图，当小圆半径 $\epsilon\to 0$ 的时候我们可以假定内外两个完整圆，且方向相反，因此各自积分为 0，且链接两个圆的直线通道大小相等方向相反，积分为 0
      • 
    • 对于内部小圆的积分，我们有 $\oint_{C_\epsilon}F(\xi) d\xi$

  • 使用条件：对于非单连通的圆，我们有这个公式

  • 使用方法：对于一个有 hole 的 disc，我们有环积分 $\oint _C \frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi = 2\pi i f(z)$

    • 第一步就是在画出积分圆盘和