6. 傅里叶变换 Fourier Transform

傅里叶变换 Fourier Transform
- 公式： $\hat f(\xi) = \frac 1 {\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\xi x}dx$
  - 前提： $\int_{-\infty}^{\infty}| f(x)|dx <\infty$
  - 和拉氏变换的区别：
    - 是 $(-\infty,+\infty)$ 的积分
    - e 的指数部分包含 i, 是复数的振动，而不是 decay 问题
- 求导 $\hat{(f')}(\xi) = \frac 1 {\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f'(x) e^{-i\xi x}dx$
  - 这个是对原空间的求导，也就是 $\frac{df}{dx}$ , 这个只是把 $f'$ 替换了 $f$ 其他不变
  - 前提： $f$ 在 $\R$ 上可积，即 $x\to \infty$ 时 $f\to 0$
  - 通过分部积分将上述式子变成对e的积分（默认在 $\infty$ 的指数函数为 0）
  - 得到函数 $(\widehat {f'}) (\xi) = i\xi\cdot \hat f(\xi)$
  - 对于变换空间的求导我们有等式 $\frac {d}{d\xi}\hat f(\xi) = \frac 1 {2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\frac d{d\xi}e^{-i\xi x}dx = \widehat {(-ix)f}(\xi) $
    - 简写就是 $\hat f'(\xi) = \widehat{(-ix)f}(\xi)$ ,防止混淆，我们写作 $(\hat f)'$
- 思路：将一切周期函数变成正余弦函数的求和
- 傅氏变换不动点
  - $f (x) = e^{-x^2/2}$ 为函数的不动点，因为其傅里叶变换结果 $\hat f = e^{-\xi^2/2}$ ,要求初值 $\hat f(0) = 1$ , ODE 有唯一解
衰变函数 decay
- 多项式衰变 polynomial decay
  - $f(x) = O(x^{-n})$ as $|x|\to\infty$ for some $n>0$
  - 例： $f(x) =\frac{1}{x^2+1}$
- 快多项式衰变 faster-than-polynomial decay
  - $f(x) = O(x^{-n})$ as $|x|\to \infty$ for $\forall n>0$
  - 例： $f(x) = |x|^{-\ln|x|} = e^{-(\ln|x|)^2}$
  - 类指数，但是非指数函数的衰变为主
- 指数衰变 exponential decay
  - $f(x) = O(e^{-b|x|})$ as $|x|\to \infty$ for some $b>0$
- 傅里叶变换的衰变
  - $n$ 阶导函数的傅里叶变换 $\widehat{f^{(n)}} = (i\xi)^n\cdot\widehat f(\xi)$
    - 前提：都有界
  - 衰变式子 $|\hat f| = |\xi|^{-n} |\widehat{f^{(n)}} = O(|\xi|^{-n})$ as $|\xi | \to \infty$
    - 定律： $f$ 的光滑程度等于其衰变的效果 ( $n_{min}$ )
    - (1) 若 $f\in C^\infty(\R)$ 且均绝对可积则 $\hat f$ 在 $\infty$ 快多项式衰变
    - (2) 若 $f$ 是级数衰变，则我们定义其比 $C^\infty$ 更加光滑
    - 已知无限可导函数的一类就是多项式函数，但是我们要比多项式更加光滑
傅里叶变换的分析论
- 复分析论
  - 对于一个函数是可分析的，说明可以用级数进行表示，那么我们就有级数的收敛半径会到复数域上，说明幂级数的收敛可以在一定的复数域上满足条件
    - 由于幂级数肯定可导，因此用求导存在也可以说明可分析（简单得多）
  - 通过聚点附近全纯函数唯一的定理，我们知道了这个级数展开是唯一的
  - 我们接下来研究一个围绕x轴固定宽度的条状空间上进行的复分析
- 可分析函数集 $\mathcal F_a$
  - 空间 $S_a:= \{z\in \mathbb C\operatorname{:|Imz|<a}\}$ ， a为常数
  - 对于函数 $f:S_a\to\mathbb C$ 满足
    - $f$ 在 $S_a$ 上可分析
    - 存在常数 $A>0$ 使得 $|f(x+iy)|\le\frac A {1+x^2}$ 对 $\forall x\in \R, |y|<a$
      - 或言之 $(1+x^2)|f(x+iy)|$ 在实数域有界
  - 定理：对于可分析函数 $f\in \mathcal F_a$ , 则任意 $0\le b< a$ 都有常数 $B>0$ 满足 $|\hat f(\xi)| \le Be^{-b|\xi|}$ 对 $\forall \xi$ 均成立
    - 这说明了复分析函数 $f$ 的傅里叶变换是一个指数衰变函数 $\hat f$
    - 证明傅里叶变换可分析：
      - 证明积分有界，傅里叶这里这个来自于定义
- 逆傅里叶变换
  - 对于可分析函数 $f\in\mathcal F$ , $f(x) = \frac 1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\xi)e^{i\xi x}d\xi$
    - 注： $\mathcal F$ 表示对任意实数 a 都可分析
  - 对于矩形围道，对于含有 $e^{-ix\xi}$ 项的形式，一般默认在 $R\to\infty$ 的情况下竖直方向积分为 0
  - 复数域傅里叶变换的公式
    - $\hat f(\xi + i\eta) = \frac 1 {\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i(\xi+i\eta)x}dx$
      - 这个定义就说明了这个积分有界
    - $f$ 可以只是实轴函数
  - 带指数衰变定理
    - 对于指数衰减实函数 $f = O(e^{-b|x|})$ 则傅氏变换 $\hat f $ 存在且在 $S_b$ 带上可分析
  - 逆傅里叶变换定理
    - 对于绝对可积实数函数 $f$ ，且有一个序列 $\{a_1 ,\cdots, a_{n}\}$ 使得 $f$ 在区间 $(a_k,a_{k+1})$ 上分别连续可导，且 $a_1,\cdots, a_n$ 有界，则 $\frac{f(x^+ )+f(x^-)}{2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^{R}\hat f(\xi)e^{ix\xi}d\xi$
      - 其中 $f(x^+) = \lim_{y\searrow x} f(y)$ , $f(x^-) = \lim_{y\nearrow x}f(y)$
    - 若存在不可积函数 $f_2$ 但是满足序列光滑的定义，则定义实负半轴映射 $f_-:(-\infty,0)\to \R$ 在 strip 以上可积，实正半轴映射 $f: (0,+\infty)\to \R$ 在 strip 以下可积
      - 这里对原函数可积，也就说明了 $\hat f_{+/-}$ 存在，即可傅里叶变换
      - 也就是说，将一个不可积的光滑函数 $f$ 通过 $g_{+/-} = f_{+/-}\cdot e^{-bx}$ 变换为可积函数，然后得到 $g_{+/-} $ 的变换，且通过 $f = e^{bx}g$ 分别得到沿着 $\pm ib$ 的围道积分，也就是逆傅里叶的最常见围道
      - 即 $\frac{f_{+}(x^+)+f_{+}(x^-)}{2} = \frac 1 {\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty - ib}^{\infty -ib}\hat f_+(z)e^{ixz}dz$
  - 总结：对于逆傅里叶变换，可分析函数通过strip判断后就直接代入公式；不完全光滑函数可以通过 partition 进行靠近；
  - 傅里叶变换和拉普拉斯变换的关系