9. 傅里叶级数 Fourier Series

  • 傅里叶基

    • Bf={12π,1πcos⁡(nx),1πsin⁡(nx)}n=1∞B_f = \{\frac 1 {\sqrt{2\pi}},\frac 1{\sqrt{\pi}}\cos(nx),\frac 1{\sqrt\pi}\sin(nx)\}_{n=1}^\infty 是平方可积空间 L2([−π,π])L^2([-\pi,\pi]) 的一组函数的基，对于空间中的任意函数，我们都有 f=lim⁡SNf = \lim S_N

    • 拟合公式 SN(x)=⟨f,1⟩2π+Σn=1N⟨cos⁡(nx),f⟩πcos⁡(nx)+Σn=1N⟨sin⁡(nx),f⟩πsin⁡(nx)S_N (x) = \frac{\langle f,1\rangle}{2\pi}+\Sigma_{n=1}^N \frac{\langle \cos(nx),f\rangle}{\pi}\cos(nx)+\Sigma_{n=1}^N\frac{\langle \sin(nx),f\rangle}{\pi}\sin(nx)

      • 注：对于阶跃函数，傅里叶拟合的结果是取中间值
      • 对于偶函数，傅里叶级数不存在 sin⁡\sin 项，奇函数不存在 cos⁡\cos 项
      • 对于一般的长度区间 的 L2([a,b])L^2([a,b]), 令 L:=b−a\mathcal L:=b-a基写作{1L,2Lcos⁡(2πnxL),2Lsin⁡(2πnxL)}\{\frac 1{\sqrt{L}},\sqrt{\frac 2 L}\cos(\frac{2\pi nx}{L}),\sqrt{\frac 2 L}\sin(\frac{2\pi nx}{L})\}

    • 经典级数等式 π4=1−13+15⋯\frac \pi 4 = 1-\frac 1 3 + \frac 1 5 \cdots

      • 原因是对 f(x)={0,[0,1)1,(1,2]f(x)=\begin{cases}0,[0,1)\\1,(1,2]\end{cases} 的傅里叶级数拟合结果

    • 纯 sine, cosine 级数

      • 令区间长度为 1, 对于纯偶函数，我们扩展到 [−1,1][-1,1]，我们有等式 f=⟨f~,1⟩2+Σ⟨cos⁡(nπx),f~⟩cos⁡(nπx)f =\frac{\langle \tilde f, 1\rangle}2+\Sigma\langle\cos(n\pi x),\tilde f\rangle\cos(n\pi x)

        • 可以改写为 f=A0+ΣAncos⁡(nπx)f = A_0+\Sigma A_n\cos(n\pi x)

  • 复数域傅里叶级数

    • B={12πeinx}n=−∞∞B = \{\frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{inx}\}_{n=-\infty}^\infty

      • 这组基是正交基

    • 复数函数拟合 f(x)=Σcn⋅12Leinπx/Lf(x) = \Sigma c_n\cdot \frac 1{\sqrt {2L}}e^{in\pi x/L}

      • cn=12L∫−LLf(x)e−inπx/Ldxc_n = \frac 1{\sqrt{2L}}\int_{-L}^L f(x)e^{-in\pi x/ L}dx
      • 这里用的是逆傅里叶变换的结果，也就是 f(x)=12π∫−∞∞f^(ξ)eiξxdξf(x) = \frac 1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\xi)e^{i\xi x}d\xi
      • 那么我们这里就要将空间变成 [−L,L][-L,L]