场论入门

  • 矢量场的积分 Vector Fields and Integrals

    • 势能域 potential field

      • 定义：在开集上的向量域映射F是一个同空间势能方程U的梯度， 即满足 F=∇UF = \nabla U 等式关系的集合

      • 引理: 在开集内的封闭曲线 C\mathcal{C} 上使用环积分 ∮CFdlˉ=0\oint_\mathcal{C}F d\bar{l} = 0

        • 证明思路： 使用矢量域的线积分得到 δW=∫I(U∘γ)′(t)dt=U∣t1t2\delta W =\int_I (U\circ \gamma)'(t)dt = U|_{t_1}^{t_2} 可以理解为势能大小只和起点终点位置有关，和路径无关

      • 证明是势能域：证明对于势能方程的梯度存在，即势能方程梯度存在，可以理解为证明多元函数可导证明（偏导连续有界）

    • 保守性 conservative

      • 对于所有沿着曲线路径 C∗\mathcal{C^*} 的曲线，如果对于矢量的线积分满足只和起点终点位置有关，和路径无关，或者有恒等式 ∮C∗Fdlˉ=0\oint_\mathcal{C^*} F d\bar{l} = 0 对任意闭合曲线成立， 则这个矢量F我们称之为保守力
      • 注：势能域属于保守矢量场

    • 连通性 connected

      • 定义： 对于集合内任何两个点都存在一根开曲线将二者相连

      • 狭义势能域判定定理： 对于 Ω∈Rn\Omega \in \mathbb{R}^n 是一个连通的开集， 且 F:Ω→RnF : \Omega \to \mathbb{R}^n 是一个连续的保守域，则F也是一个势能域

        • 注： 此处连通性保证二点连线存在

      • 引理：对于势能域的方程F，我们有等式 ∂Fi∂xj=∂Fj∂xi\frac{\partial F_i}{\partial x_j} = \frac{\partial F_j}{\partial x_i}

        • 注： 此处暂时不需要证明，可以理解为交叉求导等式， 但是这个等式成立不能用来验证是势能域

    • 单连通 simple connected

      • 定义： 对于集合$\Omega $ 内的任意闭合曲线，都可以最终收缩到一个点，则我们称这为单连通
      • 广义势能域判定定理： 对于一个单连通的开集 Ω\Omega 并且为有函数（不要求矢量场）F:Ω→RnF: \Omega \to \mathbb{R}^n 为一个连续可导函数，且满足恒等式$\frac{\partial F_i}{\partial x_j} = \frac{\partial F_j}{\partial x_i} $, 则函数 FF 是一个势能域

    • 导数形式 differential form

      • 对于一个矢量域 F(x)=(F1(x)⋮Fn(x))F(x) = \begin{pmatrix} F_1(x)\\\vdots \\ F_n(x)\end{pmatrix} 我们将其转置得到 F(x)T=(F1(x),⋯ ,Fn(x))F(x)^T = (F_1(x), \cdots, F_n(x)), 这就是一个列向量矩阵， 再乘以一个小量得到 F(x)T=F1(x)dx1+⋯+Fn(x)dxnF(x)^T = F_1(x) d x_1 + \cdots + F_n(x) d x_n.这个就是矢量域的导数形式

      • 一阶导数形式： α:=F1dx1+⋯+Fndxn\alpha : = F_1 dx_1 + \cdots + F_n dx_n

        • 注： 一阶导数形式可以用来改写矢量线积分中的 FdlˉF d\bar{l} 部分，这样就可以用dx换元而不是使用高维向量换元

  • 通量与环流 Flux and Circulation

    • 环流定义： 对于开集合的连续可导矢量场的正向闭合曲线 C∗\mathcal{C}^* 的积分∫C∗⟨F,T⟩dl\int_\mathcal{C^*} \langle F , T \rangle dl 称之为环流量 circulation

      • 注：做功就是环流的大小

    • 通量定义： 对于有向超曲面 δ∗\delta ^*, ∫δ∗⟨F,N⟩dA\int_{\delta^*} \langle F, N \rangle dA 称之为通量

      • 注：通量也可以写作 ∫δ⟨F,dAˉ⟩\int_ \delta \langle F , d\bar{A} \rangle, 其中 dAˉ:=N(ϕ(x))⋅g(x)dxd\bar{A}: = N(\phi(x)) \cdot \sqrt{g(x)} dx 称为向量表面元素
      • 注：以上两个都是有方向性的

    • 散度 diviation

      • 定义： 单位面积的通量，表达式 $ \lim_{h \to 0 } \frac{flux\ through\ surface\ S_h}{area\ of\ surface A }$

      • 计算公式：divF=∂F1∂x1+⋯∂Fn∂xndiv F = \frac{\partial F_1}{\partial x_1} + \cdots \frac{\partial F_n}{\partial x_n}

        • 注：散度是 $ tr(\nabla F)$, 注意这里是矢量场的梯度，不是势能场的梯度

    • 旋度 rotation/ curl

      • 将一个连续可导向量域：rotF∣x(u,v)=⟨DF∣xu,v⟩−⟨DF∣xv,u⟩\mathcal{rot} F|_x (u,v) = \langle DF|_x u,v\rangle - \langle DF|_xv,u \rangle

        • 注：这是一个anti-symmetric bilinear form
        • 注：这也用来表示一个点的环流量密度，其中环流沿线方向是向量u,vu,v的方向

      • 势能函数：rotF∣x(u,v)=rot⁡F(x)⋅det⁡(u,v)\mathcal{rot}F|_x(u,v) = \operatorname{rot} F(x)\cdot \det(u,v) (注意花体字是rotation，正体字是势能函数)，这样我们就可以研究势能函数，这只与空间域的点坐标 xx 自身有关

        • 注：这里由于rot\mathcal{rot} 是一个alternating p-linear form，和行列式相同，但是行列式是唯一的APF， 故rotrot 是行列式的倍数
        • 注： 上文中的 ⋅\cdot 表示的是点乘，因为 rot⁡F(x)\operatorname{rot} F(x) 返回值是一个向量

      • 二维映射时，我们也称rot⁡\operatorname{rot}为scalar function，linear form 表达式为 rot⁡F=∂F2∂x1−∂F1∂x2\operatorname{rot}F = \frac{\partial F_2}{\partial x_1} - \frac{\partial F_1}{\partial x_2}

      • 三维映射计算式1： rotF∣x(u,v)=det⁡(rot⁡F(x),u,v)=⟨rot⁡F(x),u×v⟩rot F|_x(u,v) = \det(\operatorname{rot} F(x),u,v) = \langle \operatorname{rot} F(x), u\times v \rangle，并且有等式 rot⁡F(x)=(∂F3∂x2−∂F2∂x3∂F1∂x3−∂F3∂x1∂F2∂x1−∂F1∂x2)\operatorname{rot} F(x) = \begin{pmatrix}\frac{\partial F_3}{\partial x_2} - \frac{\partial F_2}{\partial x_3}\\\frac{\partial F_1}{\partial x_3} - \frac{\partial F_3}{\partial x_1}\\\frac{\partial F_2}{\partial x_1} - \frac{\partial F_1}{\partial x_2} \end{pmatrix}

      • 三维映射计算式2：⟨rot⁡F∣x,u×v∣∣u×v∣∣⟩\langle \operatorname{rot} F|_x, \frac{u\times v}{|| u \times v||}\rangle 所以真正描述三维映射环流域的密度的是rot⁡\operatorname{rot}

      • 高维映射旋度：rotF∣x(u,v)=⟨u,A(x)v⟩rot F|_x(u,v) = \langle u , A(x)v\rangle, 其中 A(x)=(DF∣x)T−DF∣xA(x) = (DF|_x)^T-DF|_x

        • 注： 上述式子的 AA 是一个 anti-symmetric 矩阵我们可以用逆矩阵验证一下

      • 非旋转性： (DF∣x)T=DF∣x(DF|_x)^T = DF|_x， 这同时也表示 ∂Fi∂xj=∂Fj∂xi\frac{\partial F_i}{\partial x_j} = \frac{\partial F_j}{\partial x_i} 对任意位置都成立，也说明 AA 就是对称矩阵

      • 拉普拉斯等式：在物理学中我们研究流体，对一段水流，如果流向满足矢量场的关系，并且有势能关系 F=∇UF = \nabla U， 则我们对于一段满足 divF=0div F =0 的流体，存在公式 div(∇U)=∂2U∂x12+⋯+∂2U∂xn2=ΔU=0div ( \nabla U ) = \frac{\partial^2 U}{\partial x_1^2} + \cdots + \frac{\partial^2U}{\partial x_n^2} = \Delta U = 0. 我们称 Δ\Delta 为拉普拉斯算符

    • 三角微积分 Triangle Calculus

      • 用向量表示梯度： ∇:=(∂∂x1⋮∂∂xn)\nabla : = \begin {pmatrix}\frac{\partial}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial}{\partial x_n}\end{pmatrix}
      • 用梯度表示散度： divF=⟨∇,F⟩=⟨(∂∂x1⋮∂∂xn),(F1⋮Fn)⟩=∂F1∂x1+⋯+∂Fn∂xndiv F = \langle \nabla , F \rangle = \langle \begin {pmatrix}\frac{\partial}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial}{\partial x_n}\end{pmatrix} , \begin {pmatrix} F_1 \\ \vdots \\ F_n \end{pmatrix}\rangle = \frac{\partial F_1}{\partial x_1} + \cdots + \frac{\partial F_n}{\partial x_n}
      • 用梯度表示旋度： rot⁡F=∇×F(x)=det(e1e2e3∂∂x1∂∂x2∂∂x2F1F2F3)\operatorname{rot} F = \nabla \times F (x) = det \begin{pmatrix} e_1 & e_2 & e_3\\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial}{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_2} \\ F_1 & F_2 & F_3 \end{pmatrix}
      • 用梯度表示拉普拉斯算符 Δ=⟨∇,∇⟩=(∂∂x1)2+⋯(∂∂xn)2\Delta = \langle \nabla, \nabla \rangle = (\frac{\partial }{\partial x_1})^2 + \cdots (\frac{\partial }{\partial x_n})^2

  • 格林定理 Green Theorem

    • 二阶内容：F:Ω→R2F : \Omega \to \mathbb{R}^2 是一个连续可导的矢量场，则 ∫∂R∗Fdlˉ=∫R(∂F2∂x1−∂F1∂x2)dx\int_{\partial R^*} F d\bar{l} = \int_R(\frac{\partial F_2}{\partial x_1} - \frac{\partial F_1}{\partial x_2 })dx,其中 ∂R∗\partial R^* 表示有界集合 RR 的边界且具有正方向性， x 遍历 R 中的点， 一般会写开为 dx1dx2dx_1dx_2

      • 注： 即矢量场关于某闭合有界集合的界进行有向线积分 等于 集合总旋度积分

    • 格林定理用于测量面积： 对于一个二维的封闭集合，我们需要找到一个旋度始终为1的矢量场，使得我们的面积即为矢量积分，这样我们只需要求矢量场对边界的线积分即可

    • 可微区间 Admissible region: 满足格林公式要求的区间（也是满足stokes和gauss公式的区间）

      • 对于原空间： 开区间、连通的， 且边界可以表示为有限个参数方程并集的空间集合，且有从内向外的正方向性

      • 对于超曲面： intRint R 开区间, 曲面闭合

      • 零化函数 annihilate: 对于一个函数，可以将多个可微区间并起来得到一个大的空间，且满足 ∫ϕ(δ1.⋯ ,δn)1dl=0\int _\phi(\delta_1.\cdots, \delta_n) 1 dl = 0, 则我们称这个为函数是零化函数

        • 曲面闭合判定：如果 ϕ\phi annihilate ∂R\partial R，则集合 ∂R\partial R 闭合
        • 超曲面最大曲线：

  • 斯托克斯公式 Stoke’s Theorem: ∫∂δ∗Fdlˉ=∫δ∗rot⁡FdAˉ\int_{\partial \mathcal{\delta}^*} F d\bar{l} = \int_{\delta^*} \operatorname{rot} F d\bar{A}

    • 解释： 对于一个有向表面关于矢量场旋度的积分等于矢量关于表面上有向线的积分

  • 高斯定理 Gauss Theorem: ∫Rdiv⁡Fdx=∫∂RFdAˉ\int_R \operatorname{div} F dx = \int_{\partial R}Fd\bar{A}

    • 解释： 对于一个体积的矢量场的散度积分 等于 集合表面矢量场的积分

  • 格林恒等式 Green’s Identities

    • 在 admissible region 上

  • 二阶导 The Second Derivative

    • 可导判断： (1) f 在 open ball Bϵ(x)B_\epsilon(x) 可导 (2) 函数 Df:Bϵ(x)→L(X,V)Df : B_\epsilon (x) \to \mathcal {L} (X,V) 在 xx 处可导

    • 定义式: D(Df):=D2f:Ω→L(X,L(X,V))D(Df) : = D^2f : \Omega \to \mathcal{L} ( X,\mathcal{L}(X,V))，其中 Ω⊂X\Omega \subset X, f:Ω→Vf : \Omega \to V

      • 注：对于映射f:Rn→Rf: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, Df∣x∈L(Rn,R)Df|_x \in \mathcal{L} (\mathbb{R}^n, \mathbb{R}) 为一个行向量, Df∣xh∈RDf|_xh \in \mathbb{R} 为一个实数， 因此 D2f∣x∈L(X,L(X,V))D^2f|_x \in \mathcal{L}(X,\mathcal{L}(X,V)), D2f∣x≁DfD^2 f |_x \not\sim Df $\Rightarrow $ D2f∣xH~∈L(X,V)D^2f|_x \tilde{H} \in \mathcal{L}(X,V) ⇒Df∣xH~∼Df∣y\Rightarrow Df|_x \tilde{H} \sim Df|_y ,所以我们可以发现 D2f∣xD^2f|_x 的形式是一个 Mat(n×n,R)Mat(n\times n, \mathbb{R}) 的矩阵

    • 黑塞矩阵Hessian matrix: 即函数梯度的雅各比矩阵 D(∇f)∣x:=(dij)D(\nabla f ) |_x := (d_{ij}), 我们将这些表示为矩阵的元素： dij=∂2f∂xj∂xi=∂∂xi∂f∂xjd_{ij} = \frac{\partial ^2f}{\partial x_j \partial x_i} = \frac{\partial }{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j}.

      • 本质： D2f∣xD^2f|_x 是一个 n×nn\times n 矩阵
      • 施瓦茨定理： 黑塞矩阵是一个对称矩阵
      • 注： 黑塞矩阵是势能函数的二阶导