convolution

5. 卷积 Convolution Product

• 卷积 convolution product

  • 定义算符 $*$: $\mathcal L(f*g) = (\mathcal L f)\cdot (\mathcal L g)$

    • 换言之我们有 $f*g = \mathcal L^{-1}((\mathcal L f)\cdot (\mathcal L g))$
    • 就是说我们要将一个拉普拉斯函数变成两个相乘的形式（因式分解），然后用卷积获得原来的结果

  • 导出算式 $(f*g)(t) := \int_0^t f(t-s)g(s)ds$

    • 也就是说，通过上述的变换分别得到 $f,g$ 这样我们就可以用积分得到最终的结果 $f*g$

  • 性质：

    • 结合律 $(f * g)*h = f*(g*h)$

      • 

    • 交换律 $f*g = g*f$

      • 换元证明

    • 分配律 $f*(g+h) = f*g + f*h$

      • 这个就是积分的性质

• 格林函数 Green Function

  • 背景：对于二阶线性微分方程 $ay'' + by' + cy = f, y(0) = y_0, y'(0) = y_1$, 我们通过拉氏变换得到 $(ap^2 + bp + c) Y-(ap+b)y_0-ay_1 = F$ 进而得到解集 $Y = \Phi + \Psi$ 其中 $\Phi = \frac{(Ap+b)y_0 + ay_1}{ap^2+bp+c}$, $\Psi = \frac{F}{ap^2 + bp + c}$

    • 注意大写的 $\Phi, \Psi$ 表示的是拉普拉斯的情况，小写的 $\phi,\psi$ 表示的是原空间的情况

  • 上述式子 $\phi$ 解决了 hom 部分，$\psi$ 解决了 part 部分

  • 用特解反推原函数， 即 $y_{part} = \mathcal L^{-1} (\frac{F(p)}{ap^2+bp + c})(t) = f*g$

  • 定义: $(\mathcal L g) = \frac{1}{ap^2+bp + c}$ 是格林函数

  • 应用：解简单的二阶线性微分方程 ivp

• 冲量 impulse

  • 定义：$I = \int F(t) fdt$

  • 函数序列 $F_n =n, n\in (0, \frac 1n]$ 这个序列的总冲量一致，但是并不收敛， $n\to 0$, $F_n \to \infty$

  • 我们从上述的格林函数中很容易（？） 就能联想到受外力受迫振动的表达式 $mx'' + bx' + kx = f$

    • 令外力表达式为 $F_n$

    • 特解部分为 $y_{part} = g*F(t)$

    • 那么对于 $t> \frac 1n$, 我们有等式 $g*F_n = n\int _0^{1/n} g(t-s)ds$

      • 也就是把前 $1/n$ 积分就好了

    • 反过来，从 $t$ 开始求偏移量 $g*F_n = g(t) _ n\int_0^{1/n}r_t(s)ds$

      • $g(t-s) = g(t)+r_t(s)$
      • 这样我们就将小量留在积分里面了

    • $n\int_0^{1/n}r_t(s)ds<\sup|r_t(s)| \xrightarrow {n\to \infty} 0$, 因为在 $s\to 0$ 的情况下，我们的偏差量 $r_t(s)$ 也接近 0

    • $g*F_n(t) \xrightarrow{n\to\infty} g(t)$

• 狄拉克 $\delta$ 函数 Dirac Delta Function

  • 定义一个无穷的小的函数 $[(F_n)] = : \delta$

  • 等式 $g*\delta (t) = g(t)$

  • 等价表达式

    • $\delta(x) = 0 $ for $x>0$
    • $\int_\Omega\delta(x)f(x)dx = f(0)$ 对任何包含 $0$ 的函数均适用

  • 拉普拉斯变换 $(\mathcal L \delta) (p) = \int_0^\infty e^{-pt}\delta(t)dt = e^{-pt}|_{t=0} =1$

    • 同理有 $(\mathcal L\delta(t - a)) = e^{-at}$