1. 复数求导性质 Complex Differentiability

  • 复数可导性 holomorphic/ complex differentiable

    • 全纯函数定义 f′(z):=lim⁡h→0,h∈Cf(z+h)−f(z)h{f'(z) : = }\lim_{h\to 0, h\in \mathbb{C}}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}

    • 全纯函数 holomorphic 例子

      • lim⁡h→0z+h‾−zˉh=lim⁡h→0hˉh\lim_{h\to 0 } \frac{\overline{z+h}-\bar{z}}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\bar{h}}{h} 不是 holomorphic，因为解不存在（小量相除）

        • 可能存在实数和复数两个方向的解
        • 柯西黎曼定理就是为了解决这个问题

      • holomorphic 的求导法则和实数函数求导法则完全相同

    • 对比复数求导和向量求导

      • 令函数 f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)⁡,x,y∈C\operatorname{f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y)}, x,y\in \mathbb{C}

        • 注意这里的 ff 是单变量，而 u,vu,v 均为双变量函数

      • 我们首先对 f⁡\operatorname{f} 的实数部分求导: 令小量 h∈Rh\in \R, f′(z0)=∂u∂x∣(x0,y0)+i∂v∂x∣(x0,y0)f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x}|_{(x_0,y_0)} + i\frac{\partial v}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}

      • 同时我们有 f⁡\operatorname{f} 的复数部分求导: f′(z0)=−i∂u∂y∣(x0,y0)+∂v∂y∣(x0,y0)f'(z_0) = \frac{-i\partial u}{\partial y}|_{(x_0,y_0)} + \frac{\partial v}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}

      • 我们知道对于一个一维数域函数在某一点的导数是具有唯一性的 ⇒\Rightarrow 两者应该相等

    • 柯西黎曼微分方程 Cauchy-Riemann Differential Equation

      • ∂u∂x=∂v∂y\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} $

        • 交叉求导相反，对应求导相等

      • 用于证明一个函数是 holomorphic 的

      • 复数求导公式

        • ∂∂z:=12(∂∂x+1i∂∂y)\frac{\partial}{\partial z}: = \frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x} + \frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial y})

          • 散度运算符？

        • ∂∂zˉ:=12(∂∂x−1i∂∂y)\frac{\partial}{\partial \bar z}:= \frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x} - \frac 1 i \frac{\partial}{\partial y})

        • 应用: 对于函数 f=u+ivf = u + iv 满足 holomorphicholomorphic 性质，我们有 f′(z)=∂f∂z=2∂u∂z∧ ∂f∂zˉ=0f'(z) = \frac{\partial f}{\partial z} = 2\frac{\partial u}{\partial z}\wedge\ \frac{\partial f}{\partial \bar z} = 0

  • 复平面集合

    • 满足 open ball 传统定义

    • 有界 bounded: 能被有限的 BR(0)B_R(0) 包围

    • 紧集 compact: 内部每个点都可以被写作是序列的收敛目标

    • 连通集合 connect Ω=Ω1∪Ω2,Ω1∩Ω2≠∅\Omega = \Omega_1\cup \Omega_2, \Omega_1\cap\Omega_2\not=\empty

    • 直径 diameter: diam(Ω):=sup⁡∣z-w∣⁡\operatorname{diam(\Omega):= \sup|z-w|}

      • 类收敛性质： 若 Ωn\Omega_n 是一个非空的紧集序列，满足 Ωn+1⊂Ωn\Omega_{n+1}\subset \Omega_n, 并且 n→0⇒diamΩn→0n\to 0 \Rightarrow diam \Omega_n\to 0， 则存在为一点 w∈Cw\in \mathbb{C} 使得 w∈Ωnw\in \Omega_n 对任意 nn 均成立

  • 复级数 power series

    • 定理：在收敛球内的级数是一个 holomorphic 函数

      • 且导函数 f′f' 与原函数拥有同样的收敛半径

      • 什么是收敛半径？达朗贝尔判别法: 令 lim⁡n→∞∣an+1an∣:=ρ\lim_{n\to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|: = \rho

        • $\rho < 1 $ 级数收敛， ρ>1\rho > 1 级数发散
        • 收敛半径 R=1ρR = \frac{1}{\rho}

      • disc of convergence Bρ(c)B_\rho(c) 对于 P=Σ∞an(z−c)nP = \Sigma^\infty a_n(z-c)^n

    • 定义：开集上的 ff 满足 存在级数 Σn=0∞an(z−z0)n\Sigma_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n 在某点 z0z_0 附近成立，则称这个函数在 $z_0 $ 点处可分析 (analytic)

      • 本质上就是找什么地方是在收敛半径之内的，内部的就是可分析的
      • 注：对于 sin⁡\sin 函数写为级数形式 sin⁡x=Σn=0∞x(2n+1)(2n+1)!\sin x = \Sigma_{n=0}^\infty \frac {x^{(2n+1)}}{(2n+1)!} 其 ρ=0⇒R=∞\rho = 0\Rightarrow R = \infty 故任意位置的 sin⁡\sin 函数都是可分析的

  • 复积分

    • 定义式: 对于全纯函数 ff, 和有向光滑曲线 C∗\mathcal{C}^*, ∫C∗f(z)dz:=∫If(γ(t))⋅γ′(t)dt\int_{\mathcal{C}^*}f(z)dz:= \int_I f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)dt

    • 曲线长度 l(C):=∣∫Cf(z)dz∣\mathcal{l}(\mathcal{C}):=|\int_{\mathcal{C}}f(z)dz|

    • primitive 函数：对于复函数 ff, 则存在函数 FF 使得 F′=fF' = f, 我们称 FF 是 ff 的 primitive

    • 原函数积分定理：对于一个连续函数 ff 拥有原函数 FF, 且对于光滑曲线 C∗\mathcal{C}^* 的始终点 w1,w2w_1,w_2，有积分等式 ∫C∗f(z)dz=F(w2)−F(w1)\int_{\mathcal{C}^*}f(z)dz = F(w_2)-F(w_1)

      • 这个定理也就是和实数的情况一致
      • 注：1z\frac{1}{z} 是在 C/ {0}\mathbb{C} /\ \{0\} 空间下没有原函数

    • 推论：对于开区间下闭合曲线 C\mathcal{C} 和连续函数 ff ，其拥有原函数 FF 则有等式 ∮Cf(z)dz=0\oint_\mathcal{C}f(z)dz = 0

    • 推论：对于全纯函数导数 f′=0f' = 0，则 ff 常数函数