7. 线性微分方程组

微分方程解的唯一性
- 皮卡迭代 Picard Iteration
  - $x^{(k+1)} = x_0+\int _{t_0}^t F(x^{(k)}(s),s)ds$ , $x^{(0)}(t) = x_0$ 是一个常数
  - 作用：通过皮卡迭代我们可以得到第 $k$ 阶的微分方程拟合式，令 $k\to \infty$ 如果式子收敛则表明微分方程解具有唯一性
- Picard-Lindelof定理
  - 首先定义 Lipschitz estimate: 存在 $L > 0$ 使得任意连续映射 $F$ : $||F(x,t) - F(y,t)||\le L||x - y||$
  - 若满足上述等式则有 $\frac{dx}{dt} = F(x,t), x(t_0) = x_0$ 在包含 $t$ 的某一区间上有唯一解
- Gronwall’s Inequality
  - 前提：满足picard lindelof定理的条件（PL定理第一行）
  - 对于微分方程的解 $\frac{dx}{dt} = F(x,t) , x(t_0) = x_0$ 有解 $x,y$ , 则我们有不等式 $||x(t) - y(t)||\le e^{L\cdot|t - t_0|}||x_0-y_0||$
  - 推论：对于唯一解的微分方程，必然满足gronwall inequality (所有 x-y = 0)
  - gronwall 不等式一般用于约束微分方程解空间的范围，不能证明唯一解？
解空间
- 线性微分方程组的解是具有线性空间性质的
- 对于非唯一解的线性微分方程，我们有解 $x^{(1)},x^{(2)}$ , 则解空间具有 $\lambda x^{(1)} + \mu x^{(2)}$ span 空间的性质
- 齐次线性微分方程的解
  - $\frac{dx}{dt} = Ax, x(0) = x_0\Rightarrow x = e^{At}x_0$
  - 等式 $e^{At} = e^{UDU^{-1}t} = Ue^{Dt}U^{-1}$
    - 当且仅当对角矩阵有等式 $e^{diag(\lambda_1,\cdots, \lambda_n)} = diag(e^{\lambda_1},\cdots,e^{\lambda_n})$
    - 自然常数等式 $e^x = \Sigma_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!}$
  - 对于不可对角化的矩阵，我们可以通过Jordan来规范这个矩阵
    - 对于 nilpotent 部分我们有高次为零的特性，一般只有 $k = 0$ 和 $k = 1$ 具有值
  - 基本空间 Fundamental System
    - 这就是上述解空间的描述基
    - 令 $\R^n$ 空间下有一组基 $\{b_1,\cdots, b_n\}$ 我们有线性微分方程 $\frac{dx^{(k)}}{dt} = A(t) x^{(k)}, x^{(k)} (t_0) = b_k$
    - 基本矩阵 $X(t) = (x^{(1)},\cdots, x^{(n)})$
    - 算法引理 $\mathcal{F} = \{e^{At}b_1,\cdots,e^{At}b_n\}$ 是基本空间基
      - 其实就是从 $t_0$ 开始积分得到的泛化表达式解集$x=e^{A(t-t_0)}x(t_0)= e^{At}b_k $
    - 接下来的问题就是怎么算方便：
      - 令 $\mathcal{B} = eig(A)$ 即特征矩阵（不能对角化则 jordan 标准化）则标准矩阵为 $X(t) = Ue^{Jt}$
      - 上述式子中 $U^{-1}$ 和 $\mathcal{B} = U$ 抵消了，肥肠完美
- 非齐次线性微分方程
  - 根据我们前面的学习，这里的解应该具有形式 $x_{hom} + x_{part}$
  - 其中 $x_{hom}$ 负责解决齐次下的初值问题
  - $x_{part}$ 解决的是初值为 0 下非齐次函数的问题
基本系统
机械振动模型
- 综合表达式 $mu’’ +\gamma u’ + k u = F(t) $
- 简谐振动
  - $\gamma = 0, F(t) = 0$ , 常系数齐次线性微分方程组
  - $x = c_1 e^{it}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix} + c_2 e^{-it}\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}$
  - 我们可以得到 $x(0) = c_1\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}$
  - 由于我们只关注位移 $x(t)$ 即第一维，我们可以将最终的位移关于时间的函数表述为上述式子，建议将所有 $e^{it}$ 变为三角形式
  - 或者直接写成格式 $u(t) = \cos(\omega t + \delta)$ , $\omega = \sqrt{\frac k m}$
- 阻尼振动
  - $F(t)=0,\gamma\not=0$
  - 常系数齐次线性微分方程组
  - 解集具有线性性质 $c_1 v_1 e^{\lambda_1 t} + c_2v_2e^{\lambda_2 t}$
    - 注：由于我们只需要位移关于时间的变量，因此我们可以设定两个特征向量的第一维都是 1, 那么我们本质上只要找到形式为 $c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t}$ 的结果就可以了
  - 首先计算特征值 $\lambda$ : 满足是 $m\lambda ^2 + \gamma \lambda +k = 0$ 的二次方程的解
    - 计算 $\Delta = \gamma ^2 - 4mk$
    - $\Delta > 0$ : 两个实根，解为 $\lambda_1, \lambda_2$ 满足 $\lambda$ ，这种是说明我们的阻尼很大， $t$ 解为具有现实意义的停止振动时间点
    - $\Delta < 0$ : 两个复根，解为 $\lambda_1,\lambda_2$ 我们仍然可以使用双解结论得到结果
      - 这里由于振动方程具有实际性质，因此我们需要配凑使得虚数项系数变为 0
    - $\Delta = 0$ : 一个实数根，解为 $\lambda_1$ 我们会发现特征向量不够，需要 generalized 的特征向量
      - 在generalized 得到 jordan 矩阵 $e^{Jt} = {\begin{pmatrix} e^{\lambda t} & t e^{\lambda t} \\ 0 & e^{\lambda t}\end{pmatrix}}$ ，则对于特征向量 $v^{(1)},v^{(2)}$ 令其第一维变为1，我们得到基本系统
- 受迫振动