6. 线性常微分方程

可分离方程 separable function
- 形式 $y' = \beta y, y(0) = y_0$
- 思路将 $y'$ 看作是 $\frac{dx}{dy}$ 然后通过将微元部分放到正次数来，左右分别不定积分得到宏观表达式
- 微分方程解的存在性定理
  - 对于 int point $\eta$ , 满足 $g(\eta) \not = 0$ , 则在 $\eta$ 的一个相邻域中，对于 $y' = f(x)g(y), y(\xi) = \eta$ , 有唯一解 $y(x)$ .
- 不唯一解的情况：本质上得到的是一组平行曲线，因为没有一个经过点导致无法具体确定曲线的位置，一般我们用initial value去解决这个问题
齐次线性方程 homogeneous linear equation
- 一阶线性微分方程形式 : $a_1(x)y'+a_0y = f(x)$
- 线性表示方式 $\operatorname{L} = a_1 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{dx}}+a_0$ , $\operatorname{Ly =f}$
  - 联系常见的线性方程组： $Ax = b$ , 存在解点与仿射空间，就是这里的initial value 和线性解集
  - 我们将 $Ly=0$ 的解称呼为 $\operatorname{y_{hom}}$ 以及将映射剩余部分称为 $\operatorname{y_{part}}$ , 即 $\operatorname{y_{inhom}} = \operatorname{y_{hom}}+\operatorname{y_{part}}$
  - $data$ : 表示为 $\{f,\eta\}$ , 其中 $f$ 表示的是等式右边的函数； $\eta$ 表示的是初值问题 $y(\xi) = \eta$ .
  - $\operatorname{y_{hom}} $ 就是在 $data = \{0,\eta\}$ 时的解集，而 $\operatorname{y_{part}}$ 是在 $data = \{f,0 \}$ 的解集
- 线性方程的解集： $\operatorname{y_{hom}(x)=\eta\cdot e^{-\int_\xi^x\frac{a_0(t)}{a_1(t)}dt}} $
  - 解释：就是从 $\operatorname{y(\xi)=\eta}$ 开始积分得到
  - 平衡解集 equilibrium $x_{equi}(t) = constant$
  - 稳态解集 steady-state $x_{ss} = \lim_{t\to\infty} x(t)$
  - 短暂态 transient $x(t) - x_{ss}$
- 线性微分方程通解 $y = e^{-G(x)}(\int_0^x\frac{f(x)}{a_1(x)}e^{G(s)}ds+c)$
  - 形式 $a_1(x) y'+a_0(x) y = f(x)$
  - $G(x) = \int -\frac{a_0(x)}{a_1(x)} dx$ 是一个不定积分式
  - 初值问题 $y(0) = c$
- 伯努利微分方程 $y' + gy + hy^n = 0$
  - 通解：
    - 1. n 是奇数
      - 这就是一个 separable 问题
    - 1. n 是偶数
      - 令 $u = y^{1-\alpha} $, 则整个等式可以变为 $u'+(1-\alpha)g(x)u +(1-\alpha)h(x) = 0$
      - 通过线性微分方程的通解来解这个方程
矢量场线
- 基本形式
  - 1. $h(x,y)y' + g(x,y) = 0$
  - 1. $h(x,y)dy + g(x,y)dx = 0$
- 思路
  - 首先变为方向场 $y' = \begin{pmatrix}1\\\frac{-g}{h}\end{pmatrix}$
  - 伸长为 $G =\begin{pmatrix}-h\g\end{pmatrix} $
  - 变为法向矢量场 $G^\perp = \begin{pmatrix}g\\h\end{pmatrix}$
    - 我们知道对势能方程的求导得到的是梯度向量，是垂直于等势线，由于这里我们已经求了垂直矢量场，所以这个积分得到的势能方程就是原矢量场的积分曲线
  - 这样我们积分得到 $U = \int G^\perp$ ，或言之我们构造势能方程，分别关于 $x,y$ 求偏导得到 $g,h$ 就好了
- 积分参数 integrating factor
  - 构造函数 $M$ 只是关于 $x$ 或 $y$ 的函数
  - 对原解 $\begin{pmatrix}g\\h\end{pmatrix}$ 乘以参数得到通解 $\begin{pmatrix}Mg\\Mh\end{pmatrix}$
    - 本质上就是reduction of reduction
  - 由于垂直矢量场存在势能方程，因此场旋度为 0 $\Rightarrow$ 交叉求导相等
    - $\partial_y(Mg) = \partial_x(Mh)$
    - $M_y g + Mg_y = M_xh + Mh_x$ , 若 $M$ 是只关于 $x$ 的函数，则 $M_y = 0$
    - $M_x h = M(g_y - h_x)$
    - 积分得到等式 $\ln M = \int \frac{g_y - h_x}{h}$ （不定积分）
    - 因此我们有积分解 $M = e^{\int \frac{g_y - h_x}{h}}$
    - 通解势能方程 $\int_x (Mg+c(y)) = \int_y (Mh+c(x))$
- 与隐函数定理的结合
  - 二阶隐函数定理结论: 对于隐函数 $f$ 有构造显函数 $y = g(x)$ , $f(x,y) = f(x,g(x))$ , $g' = -(D_yf)^{-1}\cdot D_xf$
  - 我们将定义 $p: = D_xf, q:=D_yf$
  - 故我们有 $y' = g'(x) = -\frac{p}{q}$ , 这个显函数就可以有积分方程（势能方程） $\Phi(x,y) = \int_x (Mp+c(y)) = \int_y (Mq+c(x))$
    - 首先这个积分方程就是一个势能方程，也是一个implicit function
    - 通过给定初始值我们有等式 $\Phi (x_0,y_0) =c $
      - 其实不给定初值问题我们得到的从 $y$ 角度是一组平行曲线
      - 在 implicit function 中我们通过拉格朗日乘子问题知道这也是一组平行的曲线
    - 很多时候我们不需要找到积分因子，只需要求一个基本解就完了
      - 这个基本解可以通过分解得到
      - $pdx+qdy = 0$ 直接积分得到 $\Phi(x,y) = \int pdx + \int qdy$
  - 所以我们的微分方程的解可以通过转变为积分势能函数代入初值解决隐函数限制最终得到一个可分解的结果
    - 为什么要这样做？
      - 微分方程的解是具有严格限制的，尤其是对已经给定的 $y' = -\frac g h$ 使用积分曲线会更加直接方便