1. 逆函数定理

  • 压缩映射 contraction mapping:

    • 定义： 在complete normed vector sub space MM 中， 对于一个函数 f:M→Mf: M \to M且有数C<1C<1 使得∣∣f(x)−f(y)∣∣≤C⋅∣∣x−y∣∣||f(x)-f(y)||\le C\cdot||x-y||对∀x,y,∈M\forall x,y, \in M 则称这个映射为压缩映射

      • 引理：压缩映射一定连续
      • 注：压缩映射的映射目的地范围逐渐缩减，因此原空间一定存在更加疏松的结构来满足连续条件

    • 压缩映射定理 contraction mapping principle：

        1. 在上述 MM 中存在映射 f：M→Mf： M\to M 是一个压缩映射， 则存在唯一不动点 fixed point x0∈Mx_0 \in M 即 f(x0)=x0f(x_0)=x_0.
        1. 对于序列 (an)(a_n) 满足 a0=x,an+1:=f(an)a_0=x, a_{n+1}:=f(a_n) 收敛于 lim⁡n→∞an=x0\lim_{n\to \infty}a_n=x_0

    • 运算符范数operator norm: ∣∣L∣∣:=sup∣∣Lx∣∣Y∣∣x∣∣X||L||:=sup\frac{||Lx||_Y}{||x||_X}. 就是映射 LxLx 的范数关于 射子 xx 的上确界

      • 三角不等式： ∣∣LL′∣∣<∣∣L∣∣⋅∣∣L′∣∣||LL'||<||L||\cdot||L'|| 用于多个映射的compose

  • 可逆性 invertible:

    • 定义： 在开集上的映射 f:Ω→Yf: \Omega \to Y 是一个连续函数， 当存在 Ω′:=f(Ω)\Omega':=f(\Omega) 为 open 且 存在映射 $g: \Omega’\to \Omega ，满足等式：， 满足等式：(g\circ f)(x)=x$, f∘g(y)=yf\circ g(y)=y 对 ∀x,y\forall x,y 均成立

    • locally invertible: 对于在 x0x_0 处可逆，即在 Bϵ(x0)B_\epsilon(x_0) 定义域内可逆

    • C1C^1 可逆 C1C^1-invertible: 1. ff 可逆； 2. f−1f^{-1} 连续可导

      • 注: 这就要求 ff 和 f−1f^{-1} 均连续可导

      • 注: 存在函数在每一点处均可逆，但是整体函数不可逆

        • 例：函数 f(x)=sin(x)并非单射函数

      • 注: 存在连续可导函数可逆但是不 C1C^1 可逆

        • 例：函数 f(x)=x3f(x)=x^3

    • 引理：complete normed vector space XX, GL(X):={L∈L(X,X):L−1 exists}GL(X):=\{L\in \mathcal{L}(X,X): L^{-1} \ exists\} 是 open

      • 且 若 ∣∣L∣∣<1||L||<1 (即压缩映射), 则 (1−L)−1=Σn=0∞Ln(\textbf{1} - L)^{-1} = \Sigma_{n=0}^\infty L^n ∧\wedge ∈GL(X)\in GL(X)

      • 转述：压缩映射的 1−L\textbf{1}-L 逆函数为其无穷级数

        • 证明可逆思路：f∘g=g∘f=id⁡f\circ g = g\circ f = \operatorname{id} , 同时我们有压缩映射 hh 的情况下，构造新的映射 1−hn+1→id\textbf{1}-h^{n+1} \to id, as $ n\to \infty$

  • 逆映射定理 Inverse Function Theorem

    • 定义：在有限维normed vector space下 $f: \Omega \to Y $ 是一个连续可导函数，假设 Df∣x0Df|_{x_0} 是可逆函数, 则 ff 在 x0x_0 处可到且定义其逆函数导数为 Df−1∣f(x)=(Df∣x)−1Df^{-1}|_{f(x)} = (Df|_x)^{-1}
    • 转述：局部 C1C^1 可逆函数的导数满足上述等式