implicit_map

2. 隐函数定理

• 隐函数 implicit mapping

  • 定义：对于一个含有 $x,y$ 双变量的方程 ($x\in D, y\in E$) $F(x,y)=0$ 的函数关系为隐函数

  • 注：不是每个隐函数都可以写作显函数形式， 首先双变量 $x,y$ 不一定能分离，其次 对于确定的 $x$, 不一定只有唯一的 $y$ 与之对应， 即不一定构成函数关系

    • 注：隐函数阶段我们讨论 $F(x,y)$ 就已经不是linear form 了，而是找 变量关于某一个轴的变化率

  • 第一定理：在隐函数 $F(x,y)=0$ 中存在点 $(x_0,y_0)$ 满足 $\frac{\partial F}{\partial y} \not =0$, 则在 $(x_0,y_0)$ 周围的一个矩形范围内函数有解

  • 隐函数求导：$g'(x)=-\frac{\partial_xf(x,g(x))}{\partial_{g(x)}f(x,g(x))}$ （这里表示的 $\partial_x$ 是只对左变量求导而不是两个变量中都有的 $x$), 要求 $\partial_{g(x)}f(x,g(x))\not=0$.

    • 注：这里关于 $x$ 或者 $g(x)$ 求导不是linear form关于 变量的求导，而是当作单变量函数对变量求导

• 约束性 constraint:

  • 定义： 对于映射 $f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n (m \ge n)$，在不考虑条件重复的情况下， 其在原空间拥有 $n$ 个约束条件，且不受约束空间有 $m-n$ 维度

• 隐函数存在性定理 implicit function theorem：

  • 定义：在隐函数 $F: \mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^n \to \Omega, F\in C^1$, 存在零点 $F(x_0,y_0)=0$, 且有 $\det DF(x_0,\cdot)|_{y_0}\not=0$ (即说明 $F$ 在 $(x_0,y_0)$ 处关于 $y$ 可导）, 则存在球域 $B_\epsilon(x_0)$ 和一个 $C^1$ 可逆函数 $g: B_\epsilon(x_0)\to \mathbb{R}^m$ 使得 $F(x,g(x))=0$ 对 $\forall x \in B_\epsilon(x_0)$

    • 注：上述 $g(x)$ 具有唯一性
    • 注：本质上并不需要零点，对任意固定的 constant 就可以

  • 应用：瓦特连杆，在隐函数零点周围一定范围内关于 $y$ 求导接近于零，图像接近竖直

• 隐函数存在性定理的应用

  • 1. 数据结构角度：对于 $\mathbb{R}^n \to \R^m$ 的映射 $f$， 可以理解为由 $m$ 个 form 形式的映射求交集得到，也就是我们说的 constraints 限制。 本来对于 $f_i$ 我们可以理解为是一个form， 加上了结果 $0$ 之后我们就有了一个方程等式， 从form角度看，如果函数值恒定为0， 则导数也为0，即 $0=\Sigma_{i=1}^n\partial_i f(x)$，其中已知 $x\in \R^n, x=(y,z), y\in \R^p, z\in \R^q, p+q=n$, 满足 $\det Df(y_0,\cdot)|_{z_0}\not=0$ 在 $f(x)=0$ 的解 $x_0$ 附近存在唯一映射$z=g(y)$, 且有导数计算式： $0 = \partial_y f(y,z)+ \partial _zf(y,g(y))\cdot Dg|_y$ , 其中 $\partial_z f(y,g(y))$ 是一个 $m\times q$ 的矩阵 也就是定理前提里面的 $DF(x_0, \cdot)|_{y_0}$，而 $Dg|_y$ 是 $z$ 关于 $y$ 的导数， 是一个 $p\times q$ 的矩阵
  • 2. 图像角度：
    • (i) 我们可以看作是一个 $F(x_1, \cdots, x_n)$ 的一个多维价值函数，在其中截取一个等高线，通过存在性定理，在 $n$ 个维度中提取出 $k$ 个维度 ($k\le m)$, 只要满足函数在等高线上一点 $(x_0^1,\cdots, x_0^n)$ 的导数矩阵（梯度）的 $det$ 不为零（即不存在某一维度导数为0的情况）
    • (ii) 假设没有重复条件（包括线性不独立）有映射 $f: \R^n\to \R^m, f(x)=\textbf{0}$ (或者任意常数向量)，我们可以知道解集是一个 $n-m$ 维度的曲面（我们可以说是 $\operatorname{span}$ 了 $n-m$ 维度，也就是实际变量是 $n-m$ 维度的）
    • (iii) 这里的不成立点不是指 ( $y$关于$z$ ) “竖直”的情况，而是价值函数关于$g$的目标空间导数为0
  • 3. 通用表达式：$Dg|_y=-(\partial_z f)^{-1}\partial_yf$ 本质是矩阵相乘，这里硬要算也可以将 $f$ 的偏导数通过逆映射定理变成 $f^{-1}$ 的导数
    • 因此需要满足 det 不等于 0