eigen

4. 特征值与特征方程

• 特征值 eigenvalue 与特征向量 eigenvector

  • $Lv = \lambda v$

  • 本征空间: $V_\lambda =\{v\in V : Lv = \lambda v\}$

    • 几何重度 $\dim V_\lambda$
    • 本征空间的另一种表述法 $\ker (L - \lambda \circ \operatorname{id})$
    • 每个本征空间只对应一个 $\lambda$ 值

  • 引理: 如果存在特征值集 $\lambda_1 \cdots \lambda_n \in \mathbb{F} $ 互不相等, 则 $\{v_1, \cdots, v_n\}$ 是一组独立集合

    • 人话：特征值不同 $\Rightarrow$ 本征空间互相线性无关

  • 推论：

    • ($i$) 一个 $\mathbb{F}^n\to \mathbb{F}^n$ 的 endomorphism 至多有 $n$ 个不同的特征值
    • ($ii$) 一个 $n$ 维度空间若有 $n$ 个不同的特征值， 则其有 n 个线性无关的特征向量 $v_1, \cdots,v_n $ 就是空间的一组基

• 特征方程characteristic polynomial

  • $(A - \lambda \circ \operatorname{id}) x = 0$ 有解 $\Rightarrow $ $\det(A-\lambda \circ \operatorname{id}) = 0$

  • 特征方程 $p(\lambda) = \det(A - \lambda \circ \operatorname{id}) = 0$ 本质上是一个关于 $\lambda $ 的 $n$ 次多项式

    • 特征方程是针对每一个 $\lambda$ 均不相同的
    • 代数重度 $p(\lambda) = 0$ 的解的个数

  • 代数基本定理：在 $\mathbb{C}$ 数域下的多项式 $p(x) = \Sigma_{i=0}^n a_ix^i = 0$ 一定会有 $n$ 个解

    • 推论: 在 $\mathbb{C}$ 上的特征方程的代数重读之和为 $n$
    • 推论: 对任意矩阵 $A\in Mat(n\times n;\mathbb{C})$ 至少有一个复数特征值（最不理想就是 唯一特征值）

• 几何重度和代数重度的关系

  • 对于某个特定的特征值$\lambda$, 几何重度小于等于代数重度

    • 等于: 对任意特征值均成立，则矩阵的行列式不为 0，矩阵可以对角化

      • 表述上是 几何重度的和为 $n$
      • 也就是 $V = V_{\lambda_i}$ 的直和

    • 小于: 不能对角化

      • 但是可以上三角化

• 自伴算子 self-adjoint: $A^* = A$

  • adjoint $A^* = \bar{A}^T$

  • 引理: $L$ 是一个线性映射的自伴算子 $\Rightarrow$ $L$ 的所有特征值是实数

    • 推论: 自伴算子 $L$ 至少有一个实数特征值（代数基本定理 + 自伴算子的性质）

  • 映射的不变域 invariant

    • 对某个线性映射 $L\in \mathcal{L}(V,V)$, 我们有子空间 $U\subset V$, $u\in U \Rightarrow Lu\in U$

      • 人话：映射前后均在子空间里面 $U$

    • 引理: 对于不变域 $U$, 若 $L$ 是自伴算子，则在全空间 $V$ 下的 $U^\perp$ 也是一个$L$ 下的不变域

      • 一般直接说的话是 $L^*$ 的不变域

• 映射扩展和映射压缩

  • 映射压缩 restriction

    • $L|_U: U\to V$, $L|_Uu = Lu$

      • 人话：本来是全空间映射 $V\to V$， 现在将自变量约束在 $U$ 下，则像空间也只在 $U$ 下

        • 大endo下存在小endo

  • 映射扩展 extension

    • $\tilde{L}: V\to V$， $\tilde{L}v = Lu$

      • 人话：对于自变量定义子空间 $U$, 扩展映射满足在 $U$ 上不变， 在 $V\ \backslash\ U$ 空间下 $\tilde{L}v = 0$

    • 注： 对于映射 $L\in \mathcal{L}(V,V)$ 以及子空间 $U\sub V$

      • $v\in U$ 是 $L$ 的特征向量$\Leftrightarrow$ $v$ 是压缩映射 $L|_U$ 的特征向量

      • $v\in U$ 是 $L$ 的特征向量 $\Leftrightarrow$ $v$ 是扩展映射 $\tilde{L}$ 的特征向量

      • $L = \widetilde{L|_U}+ \widetilde{L|_{U^\perp}}$

        • 注中之注：$L|_U$ 并不是必然成立的, 前提是 满足在 $U$ 下 endo

• 谱定理 Spectral Theorem

  • 内容：有限维内积空间 $W$ 中映射 $L \in \mathcal{L}(V,V)$ 是一个 自伴算子，存在正交基是 $L$ 的一组特征向量

  • 推论：矩阵 $A$ 是自伴算子 $\Rightarrow$ $A$ 可以对角化

    • 细化结论：由于自伴算子有一组特征向量（实）是正交基，令其组成矩阵 $U$，因此满足 $U^{-1} = U^*$, $diag(\lambda) = U^*AU$