Lyapunov_Stability

稳定性

研究方程

$\frac{dy}{dt} = g(t,y), y\in \mathbb R^n$

稳定和不稳定

我们把邻近的解均趋于之的特解称为稳定，反之称为不稳定

驻定和平衡解

对于等式右边 (不包含 dx/dt) 如果不含 自变量 t, 我们称之为 驻定微分方程，再将 微分项设为 0得到的常数解，称之为 平衡解或者驻定解

研究思路

既然我们要研究特解和标准解的差异，故定义差异函数 $x = y - \phi(t)$, 其中 $\phi(t)$ 表示特解, 稳定函数会有 $x\to 0$ ; 不稳定函数会有 $x\to\infty$.
再定义函数 $\frac{dx}{dt} = f(t,x)$, 带回原方程得到

$f(t,x) = g(t,y) - \frac{d\phi(t)}{dt} =g(t,x+\phi(t))-g(t,\phi(t))$

对于函数 $f$, 我们有特解 $f(t,0) = 0$, 即稳定性等同于趋于 0 的趋势

$\epsilon$ 语言定义

稳定：对于 $\forall \epsilon > 0$, 存在 $\delta > 0$ s.t. $\forall ||x_0|| < \delta$ 的时候，方程组 $\frac{dx}{dt} = f(t,x)$ 的由初值 $x(t_0) = x_0$ 确定的解 $x(t)$ 对一切 $t \ge t_0$ 均有 $||x(t)|| < \epsilon$ , 则称 $x = 0$ 是稳定的
渐进稳定：对于 $x= 0$ 解稳定且存在 $\delta_0 > 0$ 使得 $||x_0|| < \delta_0$ 的时候满足初值 $x_0$ 的解 $x(t)$ 均有 $\lim_{t\to\infty}x(t) = 0$
渐进稳定域：如果 $x_0$ 渐进稳定，且存在域 $D_0$ 当且仅当 $x_0\in D_0$ 的时候满足初值条件 $x(t_0) = x_0$ 的解 $x(t)$ 均有 $\lim_{t\to\infty} x(t) = 0$ 则称域 $D_0$ 是渐进稳定域或者吸引域，若 $\delta_0 = \infty$ 则称为全局稳定

定理 1 (线性稳定证明)

对常系数线性微分方程组 $\dot x = Ax$ 若其特征方程 $\det(A - \lambda E) = 0$ 具有负实部则方程零解渐近稳定; 若具有正实部根，不稳定; 若由零实部根，可能稳定也可能不稳定

定理 2 (非线性算子稳定证明)

对于非线性微分方程组 $\dot x = Ax + R(x)$ 且 $R(0) = 0, \lim_{||x||\to 0} \frac{||R(x)||}{||x||} = 0$, 若特征方程没有零实部根，则在方程的零解的稳定性和 $\dot x = Ax$ 的一致，若有负实部根，稳定; 正实部，不稳定.

V 函数 (李雅普诺夫第二方法)

V 函数定义

假设 $V(x)$ 在 $||x|| \le H$ 内定义的实连续可微函数 $V(0) = 0$, 若在此域内有 $V(x)>0$ 恒成立，称 $V$ 常正; 若 $x \not= 0$ 时有 $V(x)>0$ 称 $V$ 定正
求导等式

$\frac{dV}{dt} = \sum \frac{\partial V}{\partial x_i} \frac{dx_i}{dt} = \sum\frac{\partial V}{\partial x_i}\cdot f_i \equiv \frac{\partial V}{\partial x_i} \cdot f$

李雅普诺夫定理

1. 如果对微分方程 $\frac{dx}{dt} = f(x)$ 存在定正函数 $V(x)$ 且 $\frac{dV}{dt}$ 是常负函数或者恒定为 0， 则该方程组稳定
2. 如果 $\frac{dV}{dt}$ 是定负的，那么零解渐进稳定