1. 二阶线性常微分方程的解

形式

$A \ddot x(t) + B \dot x(t) + Cx(t) = D(t)$

特征根法

首先分为 齐次解 $x_{hom}$ 和特解 $x_{part}$, 对于齐次解，我们有: $As^2 + Bs + C = 0$
对于此二次方程我们有 判别式 $\Delta = B^2 - 4AC$

$\Delta < 0$

方程有两个虚数根，我们通解的形式是 $e^{\mu t}(A \cos(\lambda t) + B \sin (\lambda t))$
这里我们可以将特征方程的解变成配凑形式 $(s - \sigma)^2 + \omega_d^2 = 0$ 其中，$\omega_d = \lambda = \frac{2\pi}{T}, \sigma =\mu = \frac{1}{\tau}$ , 如果我们要从曲线形状分析其数值，我们需要知道: 1. 周期 2. 衰变效率, 也就是 什么时候衰变到 63% (此时 $t = \tau$)

$\Delta = 0$

方程有两个相同的实根，我们的解的形式是 $(C_1 t + C_2)e^{-\mu t}$
加上特解，带回总公式求解微分方程的初值问题

$\Delta > 0$

方程有两个实数根，解的形式是 $-\frac{B}{2A} \pm \frac{\sqrt{B^2 - 4 AC}}{2A}$ 我们写作 $\mu \pm \lambda$, 那么解集为 $C_1 e^{(\mu + \lambda)t} + C_2 e^{(\mu - \lambda)t}$
同时猜出来特解然后得到 $x_{par}$ ，加起来得到完整解，带回初值问题进行求解 $C_1, C_2$

拉普拉斯变换法 (PEF)

首先我们使用拉普拉斯（这里要带入初值） 变换得到类似特征方程的式子