0. 基本概念

系统的分类

线性系统 linear system

非线性系统

线性时不变系统

是本节课默认的最常见的基础系统，线性表示符合线性叠加原理；时不变性表示系统输入信号延迟了时间 T 但是对于输出结果也只是延迟了时间 $T$，输出效果没有影响

公式表示

线性系统: $g(au(t) + b v(t)) = ag(u(t)) + bg(v(t))$
时不变系统: $g(u(t - \Delta T)) = x(t - \Delta T)$

传递函数

卷积的定义及其使用

对于一个系统我们有输入量关于时间变化的函数 input function: $u(t)$ 以及系统对应的输出量关于时间变化的函数 output function: $h(t)$
由于 input function 很多时候是一个任意变化的值，那么我们就需要借助微积分的思路来计算其作用效果:

微积分思想解决动态系统输入

1. 首先我们将输入函数在某个时域内分解为 i 份独立的时间，每两个时间间隔为 $\Delta T$，那么第 $j$ 个输入量对输出的影响是 $u_j(t) = u(j\Delta T) \Delta T \delta_\Delta (t - j\Delta T)$

单位冲激函数 unit impulse

在上面的公式中我们提及了 $\delta$ 函数，即 单位冲激函数，具体表现为在时间 $t = 0$ 的时候发出一个能量脉冲，但是作用时间近乎为 0.
这个定义很符合我们微分的思路：在每一个时间瞬间，我们的 input 值可以看作是一个常数
对于每一个特定的输入时间节点，我们的输入能量是一个有限的值，在图像上可以表现为面积的大小

$\delta$ 函数的计算

1. 积分: 对任何函数 $g(t)$，有 $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)g(t)dt = g(0)$ 即只取其 $t = 0$ 的点
2. 拉普拉斯变换 $\mathcal L \delta = 1$
3. 偏移拉普拉斯变换 $\mathcal L(\delta(t - T))(s) = \int_0^\infty e^{-st} \delta(t - T) dt = e^{-sT}$

拉普拉斯变换和传递函数

传递函数是在复域下输出函数和输入函数的比值，即 $H(s) = \frac{X(s)}{U(s)}$, 这是一个中间量, 一般常用于直接推导 $X(s)$ 的形式, 优点是不需要事先知道 $u(t)$ 的内容

卷积法

卷积可以化简拉普拉斯变换的效果 $x(t) = h(t)* u(t)$ 但难处在于找到积分的原函数

稳定百分比

时间常数

一般而言我们的结果会包含 $e^{-rt}$ 的形式并且因此有一个渐进的效果，那么我们更加需要考虑 多少时间能够到达 $99\%$ 的时间
我们称呼 $Ae^{-\frac{t}{\tau}}$ 的 $\tau$ 为时间常数

• $1\tau$ 能达到 63% 的渐近效果
• $4.3\tau$ 能达到 99% 的渐进效果

响应

自由响应

没有外来输入，仅仅依靠自身初始条件进行相应

阶跃响应

系统在阶跃输入下的响应