数列递归和矩阵

从斐波那契说起

对于斐波那契公式，我们有 $a_{n+1} = a_n + a_{n -1}$ 那么我们可以写成矩阵形式:

$\begin{bmatrix}a_{n+1}\\a_{n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 &1\\1& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_n\\a_{n -1}\end{bmatrix}$

设 $v_{n+1} = \begin{bmatrix}a_{n+1}\\a_n\end{bmatrix}$ 且我们有 $A = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$
那么应用递推我们得到的是 $v_{n + k} = A^k v_n$ 我们自然而然就会想到特征分解.
假设矩阵 $A$ 的特征值为 $a,b$ 那么数列解的形式为 $Aa^n + Bb^n$

数列的敛散性

这个数学处理过程和马尔可夫过程非常相似，但是马尔可夫链的目的就是找到一个收敛的解从而获得必然结果
那么我们事实上就要知道这个矩阵指数是不是收敛的
从特征分解的性质可知，对角矩阵是对矩阵尺度的放缩，如果矩阵所有特征值都小于等于 1，那么就会收敛到某一个点; 相反只要有一个 大于 1 就会发散