集合

集合的特性

  1. 集合元素各不相同
    1. 对于多集合 multiset 是可以存在重复的集合内元素的
  2. 元素没有顺序区别
  3. 两种表示法可以相互转化 (枚举/描述)

集合之间的关系

包含(子集) Inclusion (subset)

符号: ⊆\subseteq 或者 ⊂\subset
定义: A⊂B⇔∀x∈A→x∈BA\subset B \Leftrightarrow \forall x \in A\to x\in B
不包含: ⊄\not\subset 或者 ⊈\not\subseteq, 定义 ∃x∈A,x∄B⇒A⊈B\exists x \in A, x\not\exists B \Rightarrow A\not\subseteq B

性质
  1. A⊆AA\subseteq A 集合包含自身
  2. 若 A⊆BA \subseteq B 且 A≠BA\not= B 则 B⊈AB\not\subseteq A: 这里定义了集合的等号 A=B⇔A⊆B∧B⊆AA = B \Leftrightarrow A\subseteq B \wedge B\subseteq A
  3. 若 A⊆BA\subseteq B 且 B⊆CB\subseteq C 则 A⊆CA\subseteq C: 这里定义了包含的传递性

真子集

符号 ⊂\subset 要求 A≠B∧∀x∈A→x∈BA\not = B \wedge \forall x \in A\to x\in B

性质
  1. A⊄AA\not\subset A
  2. A⊂B→B⊄AA\subset B\to B\not\subset A
  3. A⊂B∧B⊂C→A⊂CA\subset B \wedge B\subset C\to A\subset C

空集 Emptyset

不拥有任何元素的集合称为空集 ∅\emptyset

定理: 空集是一切集合的子集
推论: 空集是唯一的

证明: ∅1⊆∅2∧∅2⊆∅1⇒∅1=∅2\emptyset_1 \subseteq \emptyset_2 \wedge \emptyset_2\subseteq\emptyset_1 \Rightarrow \emptyset_1 = \emptyset_2
也就是说空集是最小的唯一的集合，那么有没有最大的集合呢？

全集

讨论的集合都是某个集合的子集，该集合就是全集，记作 EE

并集 Union

定义: A∪B:={x∣x∈A∨x∈B}A\cup B:=\{x| x\in A \lor x\in B\}
共同并集: ⋃C={x∣∃X⊆C,s.t. x∈X}\bigcup \mathcal{C} = \{x|\exists X\subseteq\mathcal C ,\text{s.t.}\ x\in X\}

交集 Intersection

定义: A∩B:={x∣x∈A∧x∈B}A\cap B:=\{x|x\in A \wedge x\in B\}
共同交集: ⋂C\bigcap\mathcal C
注意: 共同并集的定义是避开 空集 ∅\emptyset 的，或者说 ⋃{∅}\bigcup\{\emptyset\} 是未定义的